Алгебраическая система
Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество <math>G</math> (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.
<math>n</math>-арная операция на <math>G</math> — это отображение прямого произведения <math>n</math> экземпляров множества в само множество <math>G^n \to G</math>. По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).
Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции факторгруппы, факторкольца, факторрешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.
В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.
Основные классы алгебраических систем
- Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений<ref name="Kurosh">Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15</ref>.
Группоиды, полугруппы, группы
- Группоид — множество с одной бинарной операцией <math>\cdot: G\times G \to G</math>, обычно называемой умножением.
- Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение <math>x \cdot a = b</math> имеет единственное решение для любых <math>a</math> и <math>b</math>.
- Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
- Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом <math>e\in G</math>, таким, что <math>a\cdot e = e \cdot a = a</math>.
- Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: <math>a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>.
- Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
- Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e</math>.
- Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть <math>a\cdot b = b \cdot a</math>. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').
Кольца
- Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: <math> a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c</math>.
- Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
- Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
- Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
- Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
- Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
- Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
Алгебры
- Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
- Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
- Алгебра термов
- Коммутативная алгебра
- Градуированная алгебра
- Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым <math>[a,b]</math>), удовлетворяющим тождеству Якоби <math>[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0</math>
- Алгебра Лейбница — алгебра с умножением (обычно обозначаемым <math>[a,b]</math>), удовлетворяющим тождеству Якоби <math>[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0</math>
- Алгебра Йордана — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: <math>x^2(yx)=(x^2y)x</math>
- Алгебра некоммутативная йорданова — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: <math>x^2(yx)=(x^2y)x</math> и тождеством эластичности: <math>x(yx)=(xy)x</math>
- Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами <math>x^2y=x(xy), \quad yx^2=(yx)x</math>
- Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством:
- <math>(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x</math>
- Коммутантно-ассоциативная алгебра
- Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.
Решётки
- Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими закону поглощения.
- Булева алгебра.