Случайная величина
Случайная величина — функция, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.<ref name=":0" /> Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» <math>\xi</math>. Если определять случайную величину более строго, то она является функцией <math>y=\xi(\omega)</math>, значения <math>y</math> которой численно выражают исходы <math>\omega</math> случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции <math>\xi(\omega)</math> бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из <math>\Omega</math> в <math>\mathbb{R}</math>Шаблон:Sfn.
Как функция, случайная величина <math>\xi(\omega)</math> не является вероятностью наступления события <math>\omega</math>, а возвращает численное выражение исхода <math>\omega</math>. Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия<ref name="БСЭ: C.">
- redirect Шаблон:Из БСЭ</ref>.
Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.<ref name=":0">Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И. М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.</ref>
Существует ряд задач математического анализа и теории чисел, для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах<ref>Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.</ref>.
История
Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)<ref>Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947</ref>. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933)<ref>Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974</ref>, после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к<ref>Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967</ref>, где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).
Определение
Формальное математическое определение следующее: пусть <math>(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{A}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>. Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.
Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом<ref name="Чернова_СлВ">Шаблон:Книга</ref>. Функция <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел <math>a</math> и <math>b</math> множество таких событий <math>\omega</math>, что <math>\xi(\omega)\in(a,b)</math>, принадлежит <math>\mathcal{A}</math>.
Способы задания
Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения <math>F(x)</math> равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа <math>x</math>. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна <math>F(b)-F(a)</math>. Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.
Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины <math>\xi</math>. Если <math>f(x)</math> — борелевская функция, то <math>\eta=f(\xi)</math> также является случайной величиной. Например, если <math>\xi</math> — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина <math>\chi^2 = \xi^2</math> имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
Если случайная величина дискретная, то есть мощность множества <math>\xi(\Omega)</math> не более чем счётно, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей <math>p(x)= \mathbb{P}(\xi=x)= \mathbb{P} (\{\omega:\xi(\omega)=x\}) , \; x \in \xi(\Omega) </math> всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.
Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта <math>N</math> раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью <math>p</math>, «неудача» — с вероятностью <math>q=1-p</math>. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:
- <math>P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}</math>.
Если при стремлении <math>n</math> к бесконечности произведение <math>np</math> остаётся равной константе <math> \lambda >0</math>, то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:
- <math>p(k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}</math>,
где
- символ «<math>!</math>» обозначает факториал,
- <math>e = 2.7182818284\ldots</math> — основание натурального логарифма.
Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием или средним значением случайной величины <math>\xi= \xi(\omega)</math>, со значениями в линейном нормированном пространстве <math>X</math>, заданной на вероятностном пространстве <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})</math>, называется интеграл
- <math> \mathop{\mathbb{E}}\xi =\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega)=\int\limits_{X}x\mathbb{P_\xi}(dx) </math>
(в предположении, что функция <math>\xi= \xi(\omega)</math> является интегрируемой).
Дисперсией случайной величины <math>\xi </math> называется величина, равная:
- <math>\operatorname{D}\xi = \mathop{\mathbb{E}}(\xi - \mathop{\mathbb{E}}\xi)^2 = \mathop{\mathbb{E}}\xi^2 - (\mathop{\mathbb{E}}\xi)^2~.</math>
В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение <math>\sigma_\xi^2</math> или <math>\sigma^2</math>. Величина <math>\sigma</math>, равная
- <math> \sigma = \sqrt{\operatorname{D}\xi} </math>
называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.
Ковариацией случайных величин <math>\xi </math> и <math>\eta</math> называется следующая величина:
- <math>\mathrm{cov}(\xi,\eta)</math> = <math>\operatorname{E}(\xi- \operatorname{E}{\xi})({\eta}- \operatorname{E}{\eta})</math>
(предполагается, что математические ожидания определены).
Если <math>\mathrm{cov}(\xi,\eta)</math> = 0, то случайные величины <math>\xi </math> и <math>\eta</math> называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Функция концентрации величины <math>\xi</math> называется функция <math>Q_F</math>, заданная на неотрицательной полуоси следующим образом:
- <math>Q_F(x)=\sup_{t\in R}(F(t+x+0)-F(t))</math>.
Функции от случайных величин
Если <math>f(x)</math> — борелевская функция, а <math>\xi</math> — случайная величина, то ее функциональное преобразование <math>\eta=f(\xi)</math> также является случайной величиной. Например, если <math>\xi</math> — стандартная нормальная случайная величина, случайная величина <math>\chi^2 = \xi^2</math> имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента, являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
Если <math>\xi</math> и <math>\eta</math> с совместным распределением <math>F_{\xi\eta}(x, y) </math>, а <math>\phi = \phi(x, y)</math> — некоторая борелевская функция, то для <math> \zeta = \phi(\xi, \eta) </math> справедливо<ref name = Ширяев>Шаблон:Книга</ref>:
- <math>F_{\zeta}(z) = \int\limits_{\{x, y: \phi(x, y) \leqslant z\}} \, dF_{\xi\eta}(x, y)~.</math>
Если <math> \phi(x, y) = x+y</math>, <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы, то <math>F_{\xi\eta}(x, y) = F_{\xi}(y) F_{\eta}(y) </math>. Применяя теорему Фубини, получаем:
- <math>F_{\zeta}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, F_{\eta}(z-x) dF_{\xi}(x) </math>
и аналогично:
- <math>F_{\zeta}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, F_{\xi}(z-y) dF_{\eta}(y)~.</math>
Если <math>F</math> и <math>G</math> функции распределения, то функцию
- <math>H(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, F(z-x) dG(x) </math>
называют свёрткой <math>F</math> и <math>G</math> и обозначают <math>F*G</math>.
Характеристическая функция <math>\zeta = \xi +\eta</math> суммы независимых случайных величин <math>\xi</math> и <math>\eta</math> является преобразованием Фурье свёртки <math>F*G</math> функций распределения <math>F</math> и <math>G</math> и равна произведения характеристических функций <math>\xi</math> и <math>\eta</math>:
- <math>\phi_{\zeta}(u) = \phi_{\xi}(u)\phi_{\eta}(u)~.</math>
Примеры
Дискретная случайная величина
Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени<ref name = ТГУ>Шаблон:Cite web</ref>.
Подбрасывание монеты
Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий <math>\Omega =\{</math>орёл, решка<math>\}</math> или кратко <math>\{op,pe\}</math>. Пусть случайная величина <math>\xi</math> равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:
- <math>
\xi(\omega) = \begin{cases} 10, & \text{если } \omega = \text{op},\\[6pt] -33, & \text{если } \omega = \text{pe}. \end{cases}
</math> Если монета идеальная, то выигрыш <math>\xi</math> будет иметь вероятность, заданную как:
- <math>
P(\xi=y) = \begin{cases} \tfrac 12,& \text{если }y=10,\\[6pt] \tfrac 12,& \text{если }y=-33, \end{cases}
</math>
- где <math>P(\xi=y)</math> — вероятность получения <math>y</math> рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
.svg)
Бросание игральных костей
Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости <math>n_1</math> и <math>n_2</math>, каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины <math>\xi</math>, которая задаётся функцией:
- <math>\xi((n_1, n_2)) = n_1 + n_2</math>
и (если кости идеальные) функция вероятности для <math>\xi</math> задаётся через:
- <math>P(S) = \frac{\min(S-1, 13-S)}{36}, \text{ for } S \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}</math>,
- где <math>S</math> — сумма очков на выпавших костях.
Колода карт
Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда <math>\omega</math> будет представлять одну из вытянутых карт; здесь <math>\omega</math> не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ <math>\omega</math>. Тогда функция <math>\xi(\omega)</math>, принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту <math>\omega</math>. Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть <math>\omega =K_\clubsuit</math>, тогда после подставления этого исхода в функцию <math>\xi(K_\clubsuit)</math>, мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом <math>K_\clubsuit</math> эти операции проводить было нельзя.
Абсолютно непрерывная случайная величина
Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция <math>p(x)</math>, удовлетворяющая при любых <math>x</math> равенству <math>P(\omega \mid \xi(\omega)\leq x) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{x} \displaystyle p(z)dz</math>. Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция <math>p(x)</math> называется плотностью распределения вероятностей.
Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.<ref name = ТГУ/>
Рост случайного прохожего
Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как <math>\omega</math>) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина <math>\xi</math> выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина <math>\xi</math> интерпретируется как функция <math>y=\xi(\omega)</math>, которая трансформирует каждого испытуемого <math>\omega</math> в число — его рост <math>y</math>. Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности <math>\xi</math>, которое в совокупности с <math>\xi</math> и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.
Простейшие обобщения
Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,
- Измеримая функция <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> называется <math>n</math>-мерным случайным вектором (относительно борелевской <math>\sigma</math>-алгебры на <math>\mathbb{R}^n</math>).
- Измеримая функция <math>\xi\colon\Omega \to \mathbb{C}^n</math> называется <math>n</math>-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской <math>\sigma</math>-алгебры).
- Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.
См. также
- Алгебра событий
- Случайное событие
- Закон больших чисел
- Центральная предельная теорема
- Случайный процесс