Функция распределения
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. В одномерном случае функция распределения — это вероятность того, что случайная величина <math>X</math> примет значение, меньшее <math>x</math>, где <math>x</math> — произвольное действительное число<ref name="Вентцель">Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 2001. — С. 73.</ref><ref name="Боровков">Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 37.</ref><ref name="Математическая энциклопедия">Математическая энциклопедия. 1984, Том 4. — С. 883.</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics">Шаблон:Cite web</ref><ref name="Тихонов">Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 1982.— С. 21.</ref>.
Определение
Пусть дано вероятностное пространство <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X</math> с распределением <math>\mathbb{P}^X</math>. Тогда функцией распределения случайной величины <math>X</math> называется функция <math>F_X</math>, задаваемая формулой<ref name="Вентцель"/><ref name="Боровков"/><ref name="Математическая энциклопедия"/><ref name="Encyclopedia of Mathematics"/><ref name="Тихонов"/>:
- <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)</math>.
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины <math>X </math> называют функцию <math>F(x)</math>, значение которой в точке <math>x </math> равно вероятности события <math>\{X < x\}</math>, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых <math>X < x</math>.
Свойства
- <math>F_X</math> непрерывна слева<ref name="Боровков_2">Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.</ref>:
- <math>\lim\limits_{x \to x_0-} F_X(x) = F_X(x)</math>
- <math>F_X</math> не убывает на всей числовой прямой.
- <math>\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0</math>.
- <math>\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1</math>.
Если функция <math>F(x)</math> удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что <math>F(x)</math> является её функцией распределения<ref name="Боровков_2"/>.
Функция <math>F_X</math> была бы непрерывна справа<ref name="Боровков_2"/>:
- <math>\lim\limits_{x \to x_0+} F_X(x) = F_X(x)</math>,
если бы определение функции распределения было бы следующее:
- <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )</math>.
Такое определение функции распределения используется реже в русскоязычной литературе<ref name="Математическая энциклопедия"/><ref>Шаблон:Cite web</ref>, например у математика Ширяева А. Н.<ref>Шаблон:Книга</ref>. Однако современным международным стандартом рекомендовано определение с нестрогим неравенством, что обосновано техническими удобствами при работе с мерой Лебега-Стилтьеса.
Тождества
Из свойств вероятности следует, что <math>\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a < b</math><ref name="Боровков"/><ref name="Тихонов"/>:
- <math>\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b ) = F_X(b+0) - F_X(a)</math>;
- <math>\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-0) - F_X(a)</math>;
Дискретные распределения
Если случайная величина <math>X</math> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности:
- <math>\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</math>,
то функция распределения <math>F_X</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
- <math>F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i < x} p_i</math>.
Эта функция непрерывна во всех точках <math>x\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x \not= x_i,\; \forall i</math>, и имеет разрыв первого рода в точках <math>x = x_i,\; \forall i</math>.
Непрерывные распределения
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется непрерывным, если такова его функция распределения <math>F_X</math>. В этом случае:
- <math>\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
и
- <math>F_X(x-0) = F_X(x+0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
а следовательно формулы имеют вид:
- <math>\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)</math>,
где <math>|a,b|</math> означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный<ref>Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам, 2008. — С. 66.</ref>.
Абсолютно непрерывные распределения
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду функция <math>f_X(x)</math>, такая что:
- <math>F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt</math>.
Функция <math>f_X</math> называется плотностью распределения. Известно, что функция распределения абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если <math>f_X \in C(\mathbb{R})</math>, то <math>F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})</math>, и
- <math>\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>.
Вариации и обобщения
Многомерные функции распределения
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> фиксированное вероятностное пространство, и <math>X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда распределение <math>\mathbb{P}^X</math>, называемое распределением случайного вектора <math>X</math> или совместным распределением случайных величин <math>X_1,\ldots,X_n</math>, является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>. Функция этого распределения <math>F_X</math> задаётся по определению следующим образом:
- <math>F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 < x_1 ,\ldots, X_n < x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i)\right)</math>,
где <math>\prod</math> в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на <math>\mathbb{R}^n</math> и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для <math>n > 1</math>.