Квадрат
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Шаблон:Многоугольник Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный<ref>Шаблон:Книга</ref>) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой <math>(90^\circ)</math><ref>Шаблон:Книга</ref>.
Варианты определения
Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами<ref>Шаблон:Книга</ref><ref name=CAP/>.
- Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
- Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
- Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
- Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
- Ромб, у которого диагонали равны.
- Ромб, у которого два соседних угла равны.
- Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
- Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
- Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
- Дельтоид, все углы которого прямые.
Свойства
Шаблон:Основной источник Далее в этом разделе <math>a</math> обозначает длину стороны квадрата, <math>d</math> — длину диагонали, <math>R</math> — радиус описанной окружности, <math>r</math> — радиус вписанной окружности.
Стороны и диагонали
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали <math>d=a\sqrt{2}.</math>
Периметр квадрата <math>P</math> равен:
- <math>P = 4 a = 4 \sqrt 2 R = 8 r</math>.
Вписанная и описанная окружности
Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:
- <math>r=\frac a2.</math>
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
- <math>R=\frac\sqrt22a.</math>
Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.
Площадь
-
-
Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади
_in_square.svg)
Площадь <math>S</math> квадрата равна
- <math>S = a^2 = 2 R^2 = 4 r^2= {1\over 2}d^2</math>.
Из формулы <math>S = a^2,</math> связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.
Квадрат имеет два замечательных свойства<ref>Шаблон:Книга</ref>.
- Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
- Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.
Уравнение квадрата
В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке <math>\{x_0,y_0\}</math> и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде<ref>Шаблон:Cite web</ref>:
- <math>|x-x_0| + |y-y_0| = R,</math>
где <math>R</math> — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна <math>R\sqrt{2},</math> его диагональ равна <math>2R,</math> а площадь квадрата равна <math>2R^2.</math>
Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:
- <math>|x-y| + |x+y| = a</math> (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
- <math>\max(x^2, y^2) = r^2</math>
- (в полярных координатах<ref>What is the polar equation for a square, if any?</ref>) <math>\quad r(\varphi) = \min\left( \frac{r}{|\cos\varphi|}, \frac{r}{|\sin\varphi|} \right)</math>
Математические проблемы
С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.
- Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.
- Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
- Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
- Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
- Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.
Симметрия
Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
- одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
- четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.
Применение
В математике
Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.
Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.
В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:
- <math>\square u := \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>
Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.
| Файл:Tetrahedron petrie.svg 3-симплекс (3D) |
Файл:3-simplex graph.svg |
Орнаменты и паркеты
- Некоторые мозаики, включающие квадраты
-
Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.
Графика
Шаблон:Похожие буквы Ряд символов имеют форму квадрата.
- Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
- U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
- ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
- 口 (Китайский иероглиф «рот»)
- 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)
В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.
В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:
- <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text.
Вариации и обобщения
Многомерное пространство
Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.
Неевклидова геометрия
В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.
| Файл:Square on sphere.svg | Файл:Square on plane.svg | Файл:Square on hyperbolic plane.svg |
См. также
- Алгоритм «движущиеся квадраты»
- Квадрат Полибия
- Квадратная матрица
- Квадратриса
- Первая теорема Тебо
- Площадь произвольного четырёхугольника