Вписанная окружность

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

Окружность, вписанная в угол

Пусть окружность с центром O вписана в угол A, то есть лежит внутри этого угла и касается его сторон в некоторых точках B и C.

Поскольку OB и OС - радиусы, проведённые к точкам касания, они равны и являются перпендикулярами, опущенными из точки O к соответствующим сторонам. Отсюда следует:

Радиус окружности, вписанной в угол, равен расстоянию от её центра до любой из сторон угла;

Центр вписанной в угол окружности равноудалён от сторон угла на расстояние радиуса;

Образующиеся треугольники <math>\triangle CAO</math> и <math>\triangle BAO</math> прямоугольны и равны (по общей гипотенузе OA, и равным катетам OC и OB).

Файл:Окружность вписанная в угол.png

Окружность, вписанная в угол

Из равенства этих треугольников следует, что:

Отрезки касательных равны: <math>AB=AC</math>;

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе: <math>\angle CAO=\angle BAO</math>.

Из прямоугольности треугольников также следует, что

Угол, в который может быть вписана окружность, должен быть меньше 180 градусов (<math>\angle A=\angle BAO+\angle CAO<90^\circ+90^\circ=180^\circ</math>).

Через радиус <math>r</math> и угол <math>\alpha=\angle A</math> выражаются:

Расстояние от вершины угла до центра окружности: <math>AO=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}</math>;

Отрезки касательных: <math>AB=AC =\frac{r}{\rm{tg}\frac{\alpha}{2}}</math>.

Помимо обычной тригонометрии, в данной ситуации также бывает полезной следующая формула, связывающая величину угла <math>\alpha</math>, величину центрального угла между точками касания <math>\beta=\pi-\alpha</math>, радиус <math>r</math> и отрезок касательной <math>t=AB</math>:

<math>e^{i\alpha}=\frac{t+ri}{t-ri}</math>, <math>\quad e^{i\beta}=\frac{r+ti}{r-ti}</math>,

где <math>i=\sqrt{-1}</math> - мнимая единица. Шаблон:Hider</math>. Применим комплексное сопряжение:

<math>t-ir=|AO|e^{-i\frac{\alpha}{2}}</math>.

Деля первую формулу на вторую, получим искомое равенство для <math>\alpha</math>. Уравнение для <math>\beta</math> получается аналогично. }} Замечание. При использовании в геометрии комплексных чисел следует иметь в виду, что во всех формулах комплексного анализа углы всегда считаются ориентированными, а в геометрии - обычно нет, что иногда приводит к недоразумениям. Указанная выше формула применима к ориентированному углу <math>\alpha</math>, только если <math>\sin\alpha>0</math>. В противном случае <math>\alpha</math> в формуле следует заменить на <math>-\alpha</math>.

Чтобы вписать окружность в заданный угол, нужно в качестве центра (если он не задан) выбрать любую точку на биссектрисе этого угла и опустить из неё перпендикуляры на стороны. В качестве радиуса окружности следует взять длину любого из полученных перпендикуляров. Если центр не задан, вписываемая окружность не единственна.

Окружность, вписанная в многоугольник общего вида

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае окружность обязательно находится внутри многоугольника. В ситуации, когда окружность касается всех прямых, содержащих стороны, но не самих сторон, окружность находится вне многоугольника и называется вневписанной в него. Многие свойства вписанных и вневписанных окружностей перекликаются между собой, если не совпадают полностью.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным около этой окружности, или, кратко - описанным.

Чтобы построить произвольный описанный n-угольник, нужно нарисовать окружность, выбрать на ней произвольно n точек, в каждой из которых провести касательную (прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому к этой точке). Отрезки касательных, заключённые между их пересечениями с соседними касательными с каждой стороны, составят контур n-угольника, описанного около исходной окружности.

Одним из примеров n-угольника для любого n, в который можно вписать окружность, является правильный многоугольник, когда точки на окружности выбираются равномерно.

Условия существования вписанной окружности в многоугольник

Если в данный многоугольник можно вписать окружность, она будет вписана в каждый внутренний угол этого многоугольника (см. Окружность, вписанная в угол), значит, каждый внутренний угол должен быть меньше 180 градусов, что влечёт за собой выпуклость многоугольника.

Вопрос о существовании вписанной окружности в многоугольник равносилен вопросу о существовании точки, равноудалённой от всех его сторон. Такая точка, если есть, будет центром вписанной окружности, а расстояние от неё до сторон - радиусом. Поскольку окружность вписанная в многоугольник, вписана в каждый его внутренний угол, то центр окружности находится на биссектрисах всех углов этого многоугольника (то есть, на их пересечении). Верно и обратное: общая точка всех биссектрис (если она есть) равноудалена от сторон многоугольника и является центром вписанной в него окружности.

Вследствие этого, критерий существования вписанной окружности таков: в многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда все его биссектрисы пересекаются в одной точке. (Очевидно, для этого достаточно, чтобы для любых трёх последовательных углов этого многоугольника их биссектрисы пересекались в одной точке.)

Поскольку у биссектрис не может быть более одной общей точки, это означает, что вписанная в многоугольник окружность, если есть, может быть только одна. Соответственно, точек, равноудалённых от всех сторон многоугольника тоже может быть не более одной.

Только в треугольники всегда может быть вписана окружность, независимо от их конкретного вида. Для 4-угольников это уже не так: например, чтобы в прямоугольник можно было вписать окружность, он обязан быть квадратом. Вообще, чтобы в 4-угольник можно было вписать окружность, в нём необходимо и достаточно выполнение одного соотношения: суммы длин противоположных сторон должны совпадать. Для n-угольников число таких независимых соотношений, обеспечивающих его описанность, возрастает до n-3.

Площадь описанного многоугольника и формула радиуса

Отрезки, соединяющие центр описанного n-угольника с его вершинами, разбивают его на n треугольников, каждый из которых содержит ровно одну сторону исходного многоугольника, вершина, лежащая напротив, является центром вписанной окружности, а высота, опущенная из неё к этой стороне, совпадает с радиусом вписанной окружности. Поэтому площадь k-ого треугольника будет равна:

<math>S_k=ra_k/2</math>,

а общая площадь, соответственно составит

<math>S=S_1+S_2+\dots+S_n = r(a_1+a_2+\dots+a_n)/2</math>,

<math>S=rp</math>,

где <math>p=(a_1+a_2+\dots+a_n)/2</math> - полупериметр (половина периметра) многоугольника.

Следствие 1. Радиус вписанной окружности равен отношению площади многоугольника <math>S</math> к полупериметру <math>p</math>:

<math>r=\frac{S}{p}</math>.

Следствие 2. С помощью предельного перехода получается одно из наиболее важных следствий этой формулы - формула площади круга:

<math>S=\pi r^2</math>.

Для её получения нужно описанный многоугольник равномерно обрезать по касательным к окружности бесконечно много раз. Тогда его площадь будет стремиться к площади круга, а полупериметр - к полупериметру круга <math>p=\pi r</math>.

Формулу площади можно слегка обобщить:

Любые два луча из центра описанной окружности вырезают из описанного многоугольника фигуру, площадь которой равна

<math>S=rl</math>,

где <math>l</math> - длина той части контура исходного многоугольника, которая заключена между этими лучами.

Таким образом, чтобы разрезать описанный многоугольник на m равных по площади частей, достаточно его периметр поделить m точками на равные по длине части и их соединить радиусами с центром вписанной окружности.

Задание описанного многоугольника длинами сторон

Основной вопрос этой темы: каким условиям должны удовлетворять числа <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math>, чтобы существовал описанный многоугольник с такими длинами сторон, и насколько однозначно восстановление описанного многоугольника по длинам сторон?

Необходимое условие для существования очевидно. Если требуемый многоугольник существует, то должно быть

<math>\begin{cases}

 a_1 = t_1 + t_2 \\
 a_2 = t_2 + t_3 \\
 \dots \\
 a_n = t_n + t_1

\end{cases}</math> где <math>t_1, t_2, \dots, t_n</math> - отрезки касательных, проведённых из вершин к вписанной окружности. Поэтому эта система с заданными параметрами <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> должна иметь решение в положительных числах <math>t_1, t_2, \dots, t_n</math>. На самом деле, это условие не только необходимо, но и достаточно для существования описанного многоугольника с заданными длинами сторон.

Случай нечётного n. В случае нечётного числа сторон n линейная система не вырождена и имеет единственное решение:

<math>\begin{cases}

 2t_1 = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \dots - a_{n-1} + a_n \\
 2t_2 = a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \dots - a_n + a_1 \\
 \dots \\
 2t_n = a_n - a_1 + a_2 - a_3 + \dots - a_{n-2} + a_{n-1}

\end{cases}</math> Поэтому для разрешимости системы в положительных числах необходимо наложить условие, чтобы все альтернированные суммы в правых частях этих равенств были бы положительными.

Например, для описанного треугольника с требуемыми сторонами <math>a, b, c</math> все эти условия превращаются просто в неравенство треугольника:

<math>a-b+c>0,\, b-c+a>0,\, c-a+b>0</math>.

Таким образом, в случае нечётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует и единствен (с точностью до равенства), если только все указанные выше альтернированные суммы сторон положительны.

Случай чётного n. В случае чётного числа сторон n линейная система вырождена, уравнения линейно зависимы, и для разрешимости в числах любого знака требуется одно линейное соотношение - полная альтернированная сумма длин всех сторон должна быть равна нулю:

<math>a_1 - a_2 + a_3 - \dots + a_{n-1} - a_n = 0</math>.

При этом сами числа <math>t_1, t_2, \dots, t_n</math> однозначно найти нельзя, однако можно найти их суммы <math>t_k+t_m</math>, если k и m разной чётности:

<math>\begin{cases}

 t_1 + t_2 = a_1\\
 t_1 + t_4 = a_1 - a_2 + a_3 \\
 t_1 + t_6 = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + a_5\\
 \dots\,\dots\,\dots \\
 t_2 + t_3 = a_2\\
 t_2 + t_5 = a_2 - a_3 + a_4\\
 t_2 + t_7 = a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6\\
 \dots\,\dots\,\dots \\

\end{cases}</math>

В случае чётного числа сторон, описанный n-угольник с заданными сторонами существует, если полная альтернированная сумма длин всех сторон равна нулю, а все указанные выше неполные альтернированные суммы сторон положительны. При этом описанный n-угольник с требуемыми сторонами не будет единственным, для него останется одна степень свободы.

Таким образом, задание описанного многоугольника длинами сторон, когда их количество чётно, не является удовлетворительным.

Задание описанного многоугольника отрезками касательных

В отличие от задания описанного много угольника длинами сторон, задание с помощью отрезков касательных гораздо эффективнее и удобнее. Основной результат состоит в том, что:

При любых положительных значениях <math>t_1, t_2, \dots, t_n</math> всегда существует и единствен (с точностью до равенства) описанный n-угольник, для которого эти числа являются длинами отрезков касательных в указанном порядке.

Для радиуса есть также и алгебраическая формула его зависимости от отрезков касательных. В самом деле, если <math>\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n</math> - центральные углы между соседними точками касания. Тогда для каждого k=1,2,...,n

<math>e^{i\beta_k}=\frac{r+it_k}{r-it_k}</math>.

Перемножая эти равенства, получается:

<math>\frac{r+it_1}{r-it_1}\frac{r+it_2}{r-it_2}\dots\frac{r+it_n}{r-it_n}=e^{i(\beta_1+\beta_2+\dots+\beta_n)}=e^{2\pi i}=1</math>

<math>(r+it_1)(r+it_2)\dots(r+it_n)=(r-it_1)(r-it_2)\dots(r-it_n)</math>.

Радиус вписанной окружности - это наибольший положительный корень этого уравнения. (Остальные положительные корни отвечают за сумму центральных углов равную <math>4\pi, 6\pi, 8\pi,</math> и т.д. Им соответствуют не описанные многоугольники, а замкнутые звёздчатые самопересекающиеся ломаные, описанные около окружности, контур которых охватывает центр окружности несколько раз.)

Примеры. При n=3 после упрощений получается уравнение

<math>(t_1+t_2+t_3)r^2=t_1t_2t_3</math>, откуда

<math>r^2=\frac{t_1t_2t_3}{t_1+t_2+t_3}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}</math>

<math>S^2=p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)</math>,

что даёт формулу Герона для площади треугольника.

При n=4 после упрощений получается уравнение

<math>(t_1+t_2+t_3+t_4)r^3=(t_1t_2t_3+t_1t_2t_4+t_1t_3t_4+t_2t_3t_4)r</math>, откуда, учитывая что радиус не равен 0, имеем

<math>r^2=\frac{t_1t_2t_3t_4({t_1^{-1}+t_2^{-1}+t_3^{-1}+t_4^{-1}})}{t_1+t_2+t_3+t_4}</math>

<math>S^2=p^2r^2=t_1t_2t_3t_4(t_1+t_2+t_3+t_4)(t_1^{-1}+t_2^{-1}+t_3^{-1}+t_4^{-1})</math>.

В треугольнике

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр <math>I</math> вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус <math>r</math> вписанной в треугольник окружности равен:

<math>r = \frac 12\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}; </math>

• Радиус <math>R</math> описанной вокруг треугольника окружности равен:

<math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}; </math>

<math>\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}</math>

где <math>a, b, c</math> — стороны треугольника, <math>h_a, h_b, h_c</math> — высоты, проведённые к соответствующим сторонамШаблон:Sfn;

<math>r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}</math>

Формула Эйлера

где <math>S</math> — площадь треугольника, а <math>p</math> — его полупериметр.

<math>r= \frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} </math>, <math>p</math> — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если <math>AB</math> — основание равнобедренного треугольника <math>\triangle ABC</math>, то окружность, касающаяся сторон угла <math>\angle ACB</math> в точках <math>A</math> и <math>B</math>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <math>\triangle ABC</math>.
• Теорема Эйлера: <math>R^2-2Rr=|OI|^2</math>, где <math>R</math> — радиус описанной вокруг треугольника окружности, <math>r</math> — радиус вписанной в него окружности, <math>O</math> — центр описанной окружности, <math>I</math> — центр вписанной окружности.

<math>|OI|^2 = \frac{a\,b\,c\,}{a+b+c}\left [\frac{a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]</math>

• Если прямая, проходящая через точку <math>I</math> параллельно стороне <math>AB</math>, пересекает стороны <math>BC</math> и <math>CA</math> в точках <math>A_1</math> и <math>B_1</math>, то <math>A_1B_1=A_1B+AB_1</math>.
• Если точки касания вписанной в треугольник <math>T</math> окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник <math>T_1</math> со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен <math>\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}</math>.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно <math>d=\frac{a+b-c}{2}=p-c</math>.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно <math>l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}</math>, где <math>r</math> — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам <math>l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}</math> и <math>l_c = \sqrt{ab - 4Rr}</math>
• Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда <math>|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|</math>.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>: пусть окружность <math>V</math> касается сторон <math>AB</math>, <math>AC</math> и дуги <math>BC</math> описанной окружности треугольника <math>ABC</math>. Тогда точки касания окружности <math>V</math> со сторонами и центр вписанной окружности треугольника <math>ABC</math> лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей

• Формула Эйлера: Если <math>d</math> — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны <math>r</math> и <math>R</math> соответственно, то <math>d^2 = R^2 - 2Rr</math>.
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

<math>\frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;</math><ref name=LH>Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.</ref>

<math>2Rr = \frac{abc}{a+b+c}</math>,

<math>\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1</math>

где <math>p</math> — полупериметр треугольника, <math>S</math> — его площадь.

<math>\frac rR=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{2abc}</math>

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности<ref>Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5</ref>.

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.<ref>Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, Шаблон:ISBN. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity. </ref>.
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

В четырёхугольнике

• Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: <math>AB + CD = BC + AD</math>.

Теорема Ньютона (планиметрия) и прямая Ньютона

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса<ref>Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.</ref> вписанной в сферический треугольник окружности равен<ref name="St">Шаблон:Книга</ref>Шаблон:Rp

<math>\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}</math>

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника<ref name="St"/>Шаблон:Rp.

Обобщения

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Шаблон:Не переведено 5
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Фейербаха
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Треугольник
• Центроид
• Центроид треугольника

Литература

• Шаблон:Книга:Факультативный курс по математике. Никольская
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Шаблон:HШаблон:Citation