Серединный треугольник
Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.
Свойства
Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника <math>\triangle ABC</math> при гомотетии с центром в центроиде с коэффициентом −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник <math>\triangle ABC</math>. Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника <math>\triangle ABC</math> и что его площадь равна четверти площади треугольника <math>\triangle ABC</math>. Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольникаШаблон:Sfn. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).
Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника <math>\triangle ABC</math>, этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.
Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольникаШаблон:Sfn.
Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)Шаблон:Sfn.
Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольникеШаблон:Sfn. Точка внутри треугольника является центром Шаблон:Не переведено 5 тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольникаШаблон:Sfn. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольникаШаблон:Sfn. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника <math>\triangle ABC</math>, является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.
Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.<ref>College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.</ref>
Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).<ref>Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Шаблон:Wayback</ref>
Координаты
Пусть <math>a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|</math> — длины сторон треугольника <math>\triangle ABC</math>. Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:
- <math>X = 0 : 1/b : 1/c</math>
- <math>Y = 1/a : 0 : 1/c</math>
- <math>Z = 1/a : 1/b : 0</math>
Антисерединный треугольник
Если <math>\triangle XYZ</math> — серединный треугольник для <math>\triangle ABC</math>, то <math>\triangle ABC</math> является антисерединным треугольником (антидополнительным) для <math>\triangle XYZ</math>. Антикомплементарный треугольник для <math>\triangle ABC</math> образуется тремя прямыми, параллельными сторонам <math>\triangle ABC</math> — параллельно <math>AB</math> через точку <math>C</math>, параллельно <math>AC</math> через точку <math>B</math> и параллельно <math>BC</math> через точку <math>A</math>.
Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника <math>\triangle X'Y'Z'</math> задаются формулами:
- <math>X' = -1/a : 1/b : 1/c</math>
- <math>Y' = 1/a : -1/b : 1/c</math>
- <math>Z' = 1/a : 1/b : -1/c</math>