Теорема Фейербаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Фей8.png
Окружность девяти точек (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.

Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.

Формулировка

Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Замечания

  • Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
  • Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
  • В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

О доказательствах

Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему КейсиШаблон:Sfn. Доказательство без инверсии использует критерий Архимеда<ref>Шаблон:Cite web</ref>

Связанные утверждения

  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.<ref>Шаблон:Книга:Акопян-Заславский</ref><ref>Dan Pedoe. Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1995.</ref>
Файл:Фей5.png
Точки Фейербаха: <math>F</math>, <math>F_a</math>, <math>F_b</math>, <math>F_c</math>.
  • Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
  • Пусть <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда<ref>Шаблон:Mathworld</ref>
    <math>x+y+z = 2\max(x,y,z) </math>.
  • Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.

Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».

  • Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева<ref>Ивлев Ф. Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха/ Математическое просвещение, сер. 3, вып. 15, 2011. С. 219—228</ref>.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Теорема_Фейербаха&oldid=10082