Абелева группа

Шаблон:Значения Шаблон:Falseredirect А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа <math>(G,\;*)</math> абелева, если <math>a*b=b*a</math> для любых двух элементов <math>a,\;b\in G</math>.

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком <math>+</math> и называется сложением<ref>Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов</ref>

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

Примеры

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа <math>G=\langle a\rangle</math> абелева. Действительно, для любых <math>x=a^n</math> и <math>y=a^m</math> верно, что

  <math>xy = a^ma^n=a^{m+n}=a^na^m=yx</math>.

  • В частности, множество <math>\Z</math> целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов <math>\Z/n\Z\,.</math>
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле <math>\R</math> вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем <math>\Q</math> рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть <math>n</math> — натуральное число, а <math>x</math> — элемент коммутативной группы <math>G</math> с операцией, обозначаемой +, тогда <math>nx</math> можно определить как <math>x+x+\ldots+x</math> (<math>n</math> раз) и <math>(-n)x = -(nx)</math>.
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов <math>\Z</math>), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов <math>\operatorname{Hom}(G,\;H)</math> всех групповых гомоморфизмов из <math>G</math> в <math>H</math> само является абелевой группой. Действительно, пусть <math>f,\;g:G\to H</math> — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма <math>f+g</math>, заданная как <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если <math>H</math> не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра <math>Z(G)</math> группы <math>G</math> — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы <math>G</math>, и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. <math>\Z_{mn}</math> изоморфно прямой сумме <math>\Z_m</math> и <math>\Z_n</math> тогда и только тогда, когда <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу <math>G</math> в форме прямой суммы

<math>\Z_{k_1}\oplus\ldots\oplus\Z_{k_u}</math>

двумя различными способами:

• Где числа <math>k_1,\;\ldots,\;k_u</math> степени простых
• Где <math>k_1</math> делит <math>k_2</math>, которое делит <math>k_3</math>, и так далее до <math>k_u</math>.

Например, <math>\Z/15\Z=\Z_{15}</math> может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: <math>\Z/15\Z=\{0,\;5,\;10\}\oplus\{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}</math>. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

• Дифференциальной группой называется абелева группа <math>C</math>, в которой задан эндоморфизм <math>d\colon C \to C</math> такой, что <math>d^2 = 0</math>. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра <math>\ker\,d</math> — циклами, элементы образа <math>\mathrm{Im}\,d</math> — границамиШаблон:Sfn.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. также

• Алгебраическая система

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:H
• Шаблон:Книга