Связное двоеточие
Свя́зное двоето́чие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.
Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов <math>\circ</math> («открыто») и <math>\bullet</math> («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:
- <math>\varnothing</math> — пустое множество;
- <math>\{\circ\}</math> — множество из одного элемента «открыто»;
- <math>\{\circ,\bullet\}</math> — всё пространство.
Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только <math>\{\circ\}</math>, а замкнутым — только <math>\{\bullet\}</math>. Мы видим, что точка <math>\bullet</math> не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка <math>\circ</math> не является замкнутым подмножеством.
Отображение <math>F</math> из топологического пространства <math>X</math> в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз <math>F^{-1}(\circ)</math> точки <math>\{\circ\}</math> открыт в <math>X</math> (или, что то же самое, прообраз <math>F^{-1}(\bullet)</math> точки <math>\{\bullet\}</math> замкнут в <math>X</math>). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.
Шаблон:ЯкорьАлександровский куб — степень связного двоеточия <math>F^m</math> — является универсальным пространством для <math>T_0</math>-пространств веса <math>m</math> при <math>m\geqslant\aleph_0</math>, то есть любое <math>T_0</math>-пространство веса <math>m</math> гомеоморфно подпространству <math>F^m</math>Шаблон:Sfn.