Открытое множество
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.
Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)<ref> Шаблон:Статья </ref><ref>open set Шаблон:Wayback на everything2.comШаблон:Ref</ref>. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.
Евклидово пространство
Пусть <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда <math>U</math> называется открытым, если <math>\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,</math> такое что <math>V_{\varepsilon}(x_0) \subset U</math>, где <math>V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| < \varepsilon\right\}</math> — ε-окрестность точки <math>x_0.</math>
Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.
Например, интервал <math>(a,b)</math> как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок <math>[a,b]</math> или полуинтервал <math>[a,b)</math> не являются открытыми, так как точка <math>a</math> принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.
Метрическое пространство
Пусть <math> (X,\rho) </math> — некоторое метрическое пространство, и <math>U \subset X</math>. Тогда <math>U</math> называется открытым, если <math>\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,</math> такое что <math>V_{\varepsilon}(x_0) \subset U</math>, где <math>V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < \varepsilon\}</math> — ε-окрестность точки <math>x_0</math> относительно метрики <math>\rho</math>. Другими словами, множество <math>U</math> в метрическом пространстве <math> (X,\rho) </math> называется открытым множеством, если каждая точка <math>x_{0}</math> множества <math>U</math> входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке <math>x_{0}</math><ref>Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29</ref>.
Топологическое пространство
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.
Топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math> по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств <math>\mathcal{T}</math> — «топологию», определённую на <math>X</math>. Подмножество <math>U \subset X</math>, такое, что оно является элементом топологии (то есть <math>U \in \mathcal{T}</math>), называется открытым множеством относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>.
Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество <math>G</math> содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества <math>G</math> <ref>Шаблон:Книга — C. 24—25.</ref>.
История
Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.<ref>R. Baire. “Sur les fonctions de variables réelles”. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123. </ref>