Гомоморфизм групп
В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется
- <math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v), </math>
где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.
Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент eG группы G в нейтральный элемент eH группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что
- <math> h(u^{-1}) = h(u)^{-1}.</math>
Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».
В более ранних работах h(x) могло обозначаться как xh, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.
В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.
Понятие
Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.
Образ и ядро
Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H
- <math> \ker(h) := \{u \in G : h(u) = e_{H}\}\mbox{.}</math>
и образ h как
- <math> \mathop{\mathrm{Im}}(h) := h(G) :=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}\mbox{.}</math>
Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:
- <math>h\left(g^{-1} \circ u\circ g\right)= h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot e_H\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot h(g) = e_H.</math>
Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {eG}.
Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.
Примеры
- Возьмём циклическую группу <math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = {0, 1, 2}</math> и группу целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> по сложению. Отображение <math>h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> с <math>h(u) = u \bmod 3</math> является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.
- Возьмём группу
- <math>G:=\left\{\begin{pmatrix}
a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\bigg| \exists a>0,b\in\mathbb{R}\right\}</math>
- Для любого комплексного числа <math>u</math> функция <math>f^u: G \to \mathbb{C}</math>, определённая как:
- <math>\begin{pmatrix}
a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto a^u </math>
- является гомоморфизмом.
- Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения <math>(\mathbb{R}^+, \cdot)</math>. Для любого комплексного числа <math>u</math> функция <math>f^u: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{C}</math>, определённая как
- <math>f_u(a)=a^u</math>
- является гомоморфизмом.
- Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> по сложению в группу ненулевых вещественных чисел <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math> по умножению. Ядром является множество <math>\{0\}</math>, а образ состоит из вещественных положительных чисел.
- Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> по сложению в группу ненулевых комплексных чисел <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество <math>\{2\pi ki \in \mathbb{C} \mid \exists k \in \mathbb{Z}\}</math>, как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math>, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют Шаблон:Не переведено 5.
Категории групп
Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.
Виды гомоморфных отображений
Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.
Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.
Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.
Гомоморфизмы абелевых групп
Групповая структура
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
Если группа <math>(H,\cdot)</math> — абелева, то множество <math>\mathrm{Hom}(G, H)</math> всех гомоморфизмов из группы <math>G</math> в группу <math>H</math> само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом <math>+</math>: для двух гомоморфизмов <math>f</math> и <math>g</math> гомоморфизм <math>f + g</math> определяется формулой
- <math>(f+g)(x) := f(x) \cdot g(x),</math>
где <math>x\in G</math>.
Структура кольца
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов <math>f\in\mathrm{Hom}(K, G)</math>, <math>h,k\in\mathrm{Hom}(G, H)</math> и <math>g\in\mathrm{Hom}(H,L)</math> выполняются следующие равенства:
- <math>\begin{align}(h + k) \circ f &= (h \circ f) + (k \circ f) \\ g \circ (h + k) &= (g \circ h) + (g \circ k).\end{align}</math>
В частности, множество <math>\mathrm{End}(H) := \mathrm{Hom}(H, H)</math> всех эндоморфизмов абелевой группы <math>H</math> образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы <math>H</math>.
Например, <math>\mathrm{End}(\Z) \cong \Z</math> и <math>\mathrm{End}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Кроме того, для любой абелевой группы <math>A</math> кольцо эндоморфизмов прямого произведения <math>A^m</math> изоморфно кольцу матриц <math>m \times m</math> с элементами из группы <math>\mathrm{End}(A)</math>:
- <math>\mathrm{End}(A^m) = M_m(\mathrm{End}(A)).</math>
Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.