Трапеция

Файл:Trapezoid.svg

Трапе́ция (от Шаблон:Lang-grc — «столик» от Шаблон:Lang-grc2 — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны<ref>Шаблон:Книга</ref>. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны<ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм не становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

Файл:Трапеция и диагонали.png

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой<ref>Шаблон:Книга</ref> или равнобочной<ref>Шаблон:Книга</ref> трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• Равнобедренная трапеция
  Равнобедренная трапеция
• Прямоугольная трапеция
  Прямоугольная трапеция

Свойства

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна <math>180^\circ</math> (по свойству секущей при параллельных прямых).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.<ref>Геометрия по Киселёву Шаблон:Wayback, § 99.</ref>
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Отношение боковых сторон равно отношению синусов противолежащих им углов:

<math>\frac{c}{d}=\frac{\sin D}{\sin C}</math>.

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащих к основаниям, подобны. Два других, прилежащих к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
• Если отношение оснований равно <math>K</math>, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно <math>K^2</math>.
• Высота трапеции определяется формулой:

<math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>

где <math> b </math> — большее основание, <math> a </math> — меньшее основание, <math> c </math> и <math> d </math> — боковые стороны.

В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до

<math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left (b-a\right )^2}</math>,

так как <math>c^2-d^2=0</math>.

• Диагонали трапеции <math> d_1</math> и <math> d_2 </math> связаны со сторонами соотношением:

<math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>.

Их можно выразить в явном виде:

<math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>;

<math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>.

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

<math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>;

<math>b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}</math>;

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

<math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>;

<math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>.

Если же известна высота <math> h </math>, то

<math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>;

<math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>.

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
• Длина отрезка <math>s</math>, соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле

<math>s=\frac{\sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b)^2}}{2}</math>.

• Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые диагонали данной трапеции отсекают от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.

Неравенства для отрезков в трапеции

• Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше модуля разности оснований трапеции, т. е. если <math>\mathcal{ABCD}</math> — трапеция (<math>\mathcal{AD\parallel BC}</math>), то выполняется неравенство: <math>\mathcal{AB+CD > |AD - BC|}</math>.
• Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если <math>\mathcal{ABCD}</math> — трапеция (<math>\mathcal{AD\parallel BC}</math>), то выполняется неравенство: <math>\mathcal{AC+BD > AD + BC}</math>.
• Ещё одно неравенство для сторон трапеции — модуль разности боковых сторон меньше модуля разности оснований трапеции, т. е. если <math>\mathcal{ABCD}</math> — трапеция (<math>\mathcal{AD\parallel BC}</math>), то выполняется неравенство: <math>\mathcal{|AB-CD|<|AD-BC|}</math>.

Равнобедренная трапеция

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции). Эквивалентно: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, взаимно перпендикулярны;
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывают с одним и тем же основанием равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание видно под одним и тем же угломШаблон:Прояснить<ref>Следствие: в случае перпендикулярности диагоналей боковым сторонам трапеция является равнобедренной.</ref>;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если <math>\mathcal{ABCD}</math> — равнобочная трапеция (<math>\mathcal{AD\parallel BC}</math>, <math>\mathcal{AB = CD}</math>), причём <math>\mathcal{AC}</math> — диагональ трапеции, то <math>\mathcal{{AC}^{2} = AD\cdot BC + {AB}^{2}}</math>.<ref>Шаблон:Книга</ref>

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}</math>.

• Если <math>a+b=c+d</math>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

<math>r=\dfrac h2=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}=\dfrac{\sqrt{d^2-l^2}}{2}</math>.

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом <math>r</math>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — <math>v</math> и <math>w</math> — то <math>r = \sqrt{vw}</math>.
• Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
• Боковые стороны <math>c\leqslant d</math> описанной трапеции выражаются через основания <math>a</math> и <math>b</math> этой трапеции и радиус <math>r</math> вписанной в неё окружности как

<math>c=\dfrac{a+b}{2}-{\dfrac{|a-b|}{2}}{\sqrt{1-\dfrac{4r^2}{ab}}}</math>,

<math>d=\dfrac{a+b}{2}+{\dfrac{|a-b|}{2}}{\sqrt{1-\dfrac{4r^2}{ab}}}</math>.

• Радиус <math>r</math> вписанной в трапецию окружности выражается через длины <math>a</math> и <math>b</math> её оснований и угол <math>\theta</math> между диагоналями описанной трапеции формулой

<math>r=\frac{2ab(a+b)}{(a-b)^2}\mathrm{ctg}\,\theta</math>.

• Угол <math>\theta</math> между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями <math>a</math> и <math>b</math> можно найти, используя соотношение

<math>\operatorname{cos}\theta=\frac{(a-b)^2}{a^2+6ab+b^2}</math>.

• Радиус <math>r</math> вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству

<math>r\leqslant\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>,

где <math>a</math> и <math>b</math> — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.

• Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство

<math>a<c\leqslant d<b</math>.

• Длина <math>l</math> отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований <math>a</math> и <math>b</math> и радиусом вписанной окружности <math>r</math> может быть вычислена по формуле

<math>l=\frac{2abr}{\sqrt{(ab)^2+((a-b)r)^2}}</math>.

• Связь противоположных углов <math>A</math> и <math>C</math> описанной трапеции с длинами оснований <math>a</math> и <math>b</math> (см. рис. выше):

<math>\frac{b}{a}=\frac{\mathrm{ctg}\,\frac{A}{2}}{\mathrm{ctg}\,\frac{C}{2}}</math>.

• Площадь <math>S</math> описанной трапеции выражается через внутренние углы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> при одном из оснований описанной трапеции и радиус <math>r</math> вписанной в неё окружности формулой

<math>S=2r^2\Bigl(\frac{1}{\mathop{\operatorname{\sin}}\alpha}+\frac{1}{\mathop{\operatorname{\sin}}\beta}\Bigr)</math>.

• Угол <math>\theta</math> между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству

<math>\mathrm{arccos}\,\frac{(k-1)^2}{k^2+6k+1}\leqslant\theta<\frac{\pi}{2}</math>,

где <math>k</math> — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство <math>\theta=\mathrm{arccos}\,\frac{(k-1)^2}{k^2+6k+1}</math> здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.

• Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
• Угол <math>\theta</math> между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями <math>a</math> и <math>b</math> можно найти, используя соотношение

<math>\mathrm{\tan}\,\theta=2\Bigl(\frac{a+b}{a-b}\Bigr)^2</math>.

• Угол <math>\theta</math> между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала <math>\Bigl(\mathrm{\arctan}\,2;\frac{\pi}{2}\Bigr)</math>.
• Для любой описанной трапеции произведение оснований меньше произведения боковых сторон.
• Для любой описанной трапеции сумма квадратов диагоналей меньше квадрата суммы боковых сторон.
• Для любой описанной трапеции сумма квадратов оснований больше суммы квадратов боковых сторон.
• Два отрезка, концами которых являются у одного и у другого точки касания противоположных сторон описанной трапеции, пересекаются в точке пересечения диагоналей такой трапеции.
• Боковые стороны описанной трапеции взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение длин боковых сторон ровно в 2 раза больше произведения длин оснований.

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если <math>a</math> и <math>b</math> — основания и <math>h</math> — высота, формула площади:

<math>S= \dfrac{(a+b)}{2}h</math>

• В случае, если <math>m</math> — средняя линия и <math>h</math> — высота, формула площади:

<math>S= \displaystyle m h</math>

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

<math>m= \dfrac{ (a+b) }{2}</math>

• В случае, если известна средняя линия <math>m</math>, боковая сторона <math>c</math> и угол при этой стороне <math>\alpha</math>, то формула площади выглядит следующим образом:

<math>S= mc\sin\alpha</math>

Примечание: приведённая выше формула получается путём применения теоремы синусов на любом из двух треугольников, образовываемых высотами трапеции. Использование любого из двух углов, прилежащих к боковой стороне обусловлено тем, что <math>\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)</math>.

• Формула, где <math>a<b</math> — основания, <math>c</math> и <math>d</math> — боковые стороны трапеции:

<math>S=\dfrac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}.</math>

или

<math>S=\dfrac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \dfrac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>

• Средняя линия <math>m</math> разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как<ref>Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.</ref>

<math>\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{3a+b}{a+3b}</math>

• По свойству треугольников <math>{\triangle AHD}</math> и <math>{\triangle BHC}</math> в трапеции <math>ABCD</math>:

<math>S = {\left(\sqrt{S_{\bigtriangleup AHD}} + \sqrt{S_{\bigtriangleup BHC}}\right)}^2.</math>

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным <math>r</math>, и любым из углов трапеции <math>\alpha</math>:

<math>S=\dfrac{4r^2}{\sin{\alpha}}</math>

• Площадь равнобедренной трапеции через диагональ <math>d</math>, боковую сторону <math>l</math> и угол при основании <math>\alpha</math>:

<math>S=l\sqrt{d^2-(l\sin\alpha)^2}\sin\alpha</math>.

• Площадь равнобедренной трапеции:

<math>S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}</math>,

где <math>c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math>\gamma</math> — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной<ref>Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184</ref>.

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:

<math>S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2}</math>

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

<math>S = h^2.</math>

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. <math>m = h</math>.

История

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).