Теорема синусов
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов: Шаблон:Рамка Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Шаблон:Lang-ref
и расширенная теорема синусов: Шаблон:Рамка Для произвольного треугольника Шаблон:Lang-ref где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника, <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — соответственно противолежащие им углы, а <math>R</math> — радиус окружности, описанной около треугольника.
Доказательства
Доказательство обычной теоремы синусов
Воспользуемся только определением высоты <math> h_b </math> треугольника, опущенной на сторону Шаблон:Math, и синуса для двух углов: Шаблон:Lang-ref Следовательно, <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎
Доказательство расширенной теоремы синусов
Достаточно доказать, что Шаблон:Lang-ref Проведем диаметр <math>|BG|</math> для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол <math>GCB</math> прямой, а угол <math>CGB</math> равен либо <math>\alpha</math>, если точки <math>A</math> и <math>G</math> лежат по одну сторону от прямой <math>BC</math>, либо <math>\pi-\alpha</math> в противном случае. Поскольку <math>\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha</math>, в обоих случаях получаем Шаблон:Lang-ref Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем: Шаблон:Lang-ref Шаблон:Чтд
Вариации и обобщения
В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
В симплексе Шаблон:Lang-ref\cdot \sin {A_{i,j}},</math>}} где <math> A_{i,j} </math> — угол между гранями <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_{n-2}^{i,j}</math> — общая грань <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_n</math> — объём симплекса.
История
- В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется<ref>Шаблон:Книга</ref>.
- Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке<ref>Шаблон:Книга</ref>.
- Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Шаблон:Citation</ref>. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере<ref name="MacTutor Al-Jayyani">Шаблон:Cite web</ref>.
Вариации и обобщения
- Сферическая теорема синусов
- На плоскости Лобачевского с кривизной <math>-1</math> теорема синусов принимает следующую форму: Шаблон:Lang-ref
- Теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
- Формулы Мольвейде
Примечания
Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:Треугольник Шаблон:Тригонометрия