Среднее геометрическое
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
- <math>G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}</math>
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным<ref>Шаблон:Из БСЭ</ref>, поскольку среднее геометрическое <math>g</math> двух чисел <math>a_1</math> и <math>a_2</math> обладает следующим свойством: <math>\frac{a_1}{g} = \frac{g}{a_2} </math>, то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- <math>\operatorname{min}(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant G(x_1, x_2, \ldots, x_n)\leqslant \operatorname{max}(x_1, x_2, \ldots, x_n).</math>
- Среднее геометрическое двух чисел <math>a=A_0, b=G_0</math> является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- <math>A_i=\frac{A_{i-1}+G_{i-1}}{2},\quad G_i=\sqrt{A_{i-1}G_{i-1}}.</math>
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического<ref>Шаблон:Книга</ref>.
- Десятичный логарифм среднего геометрического нескольких чисел является средним арифметическим десятичных логарифмов этих чисел. Поскольку десятичный логарифм показывает порядок величины числа в десятичной системе, то среднее геометрическое является средним по порядку величины. Например, для чисел 2 (~<math>10^0</math>) и 9000 (~<math>10^4</math>) среднее арифметическое - 4501 ~ <math>10^4</math>, среднее гармоническое - <math>\approx</math>4 ~ <math>10^0</math>, а среднее геометрическое - <math>\approx</math>134 ~ <math>10^2</math>.
Среднее геометрическое взвешенное
Шаблон:Main Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> с вещественными весами <math>w_1, \ldots, w_n</math> определяется как
- <math> \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right). </math>
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
<math>BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}</math>
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину. Это построение позволяет извлекать квадратный корень из заданного отрезка с помощью циркуля и линейки если отложить один из отрезков равным отрезку единичной длины.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных <math>A_g(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt[g]\frac{x_1^g+\ldots+x_n^g}{n}</math> при <math>g\to 0</math>.
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при <math>\phi(x)=\log_a x</math>.