Геометрическая прогрессия

Шаблон:Значения Геометри́ческая прогре́ссия (иногда также кра́тная прогрессия) — последовательность чисел <math>b_1</math>, <math>b_2</math>, <math>b_3</math>, <math>\ldots</math> (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевое число <math>q</math> (знаменатель прогрессии, или коэффициент). Выражаясь математически: <math>b_1 \neq 0, q \neq 0; b_{n+1} = b_n \cdot q, n \in \mathbb N, n \geqslant 2</math><ref>Геометрическая прогрессия Шаблон:Wayback на mathematics.ru</ref>.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

<math>b_n = b_1 q^{n-1}.</math>

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей<ref name=":0">Шаблон:Публикация</ref>.

Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

<math>b_1 > 0\quad</math> и <math>\quad q > 1</math>

или

<math>b_1 < 0 \quad</math> и <math>\quad 0< q <1 </math>.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

<math>b_1 < 0\quad</math> и <math>\quad q > 1</math>

или

<math>b_1 > 0 \quad</math> и <math>\quad 0< q <1 </math>.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей<ref name=":0" />, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

При <math>q < 0</math> — знакочередующейся<ref>Шаблон:Из БСЭ</ref>, при <math>q=1</math> — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

<math> |b_{n}| = \sqrt{ b_{n-1} b_{n+1} },</math>

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов<ref>Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.</ref>.

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом: Шаблон:ТеоремаДанный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим <math> b_{n} = -\sqrt{ b_{n-1} \cdot b_{n+1} }</math>, где <math> n\geqslant 2</math>.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим <math> b_{n} = \left(-1\right)^{n+j}\sqrt{ b_{n-1} \cdot b_{n+1} }</math>, где <math> j=0</math> либо <math> j=1</math> и <math> n\geqslant 2</math>.

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами <math>\left ( n;\, b_n \right )</math>, где <math>n</math> — номер (натуральное число), а <math>b_n</math> — <math>n</math>-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой <math>q>0</math>, то все точки будут принадлежать графику функции:

<math>y=b_1\cdot q^{x-1} = \frac{b_1}{q}\cdot q^x,</math>

где <math>q</math> — это знаменатель геометрической прогрессии, а <math>b_1</math> — её первый член<ref name=":0" />.

Это означает, что справедлива теорема:Шаблон:Теорема

Примеры

Файл:Square (shape) in square.svg

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата<ref>Шаблон:Книга</ref>Шаблон:Rp.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• Шаблон:Nums — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• <math>\pi</math>, <math>\pi</math>, <math>\pi</math>, <math>\pi</math> — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• <math> q = \dfrac{ b_{n+1} }{ b_n }</math>

• <math> q = \sqrt[n-k]{\dfrac{ b_{n} }{ b_k }}, \text{где } k<n;\; \forall n, \forall k \in \mathbb N. </math>

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

<math> b_{n} = b_{n-1} \cdot q</math>

• Формула общего (<math>n</math>-го) члена:

<math>b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}.</math>

• Обобщённая формула общего члена:

<math>b_n = b_k \cdot q^{n - k}, \text{где } k<n;\; \forall n, \forall k \in \mathbb N.</math>

• <math>b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}</math>, если <math>1 < i < n</math>.

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

• <math>b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}</math>, если <math>1 < i < n</math>.

• Произведение первых <math>n</math> членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  <math>P_{n} = \left( b_1 \cdot b_n \right)^\frac{n}{2} .</math>

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  <math>P_{k,n} = \dfrac{ P_{n} }{ P_{k-1} } .</math>

• Сумма <math>n</math> первых членов геометрической прогрессии

  <math>S_n = \begin{cases}

 \sum\limits_{i=1}^n  b_i = \dfrac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\dfrac{ b_1 \left( 1 - q^{n} \right) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\
 \\
 n b_1, & \mbox{if } q = 1

\end{cases}</math> Шаблон:Скрытый{1-q} \right) = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}.</math> }}

• Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма <math>n </math> первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится и неограниченно приближается с ростом <math>n </math>. Сумма всех членов убывающей прогрессии:

<math> \left| q \right| < 1 </math>, то <math> b_n \to 0 </math> при <math>n \to +\infty</math>, и

<math>S_n \to \frac{ b_1 }{ 1-q } </math> при <math>n \to +\infty</math>.

Свойства суммы геометрической прогрессии

• <math>b_{n+1} = S_{n+1} - S_n </math>
• <math>S_n = \sigma_n \cdot b_1b_n </math>

где <math>\sigma_n </math> — сумма обратных величин, то есть <math>\sigma_n = \dfrac{1}{b_1}+ \dfrac{1}{b_2}+ \cdots + \dfrac{1}{b_{n-1}}+ \dfrac{1}{b_{n}} </math>.

Свойства произведения геометрической прогрессии

Произведением первых <math>n</math> членов геометрической прогрессии <math>\left\{b_n\right\}</math> называется произведение от <math>b_1</math> до <math>b_n</math>, то есть выражение вида <math>\prod\limits_{i = 1}^n b_i = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot \ldots \cdot b_{n-2} \cdot b_{n-1} \cdot b_n.</math> Обозначение: <math>P_n</math>.

• <math>P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot{q}^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}</math>
• <math>b_{n+1} = \dfrac{P_{n+1}}{P_n} </math>
• <math>P_{2n}=P_{n}\cdot \sqrt[3]{P_{3n}}</math>
• <math>\sqrt[k]{P_{k}^{l-m}} \cdot \sqrt[l]{P_{l}^{m-k}} \cdot \sqrt[m]{P_{m}^{k-l}} = 1</math>

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда