Арифметическая прогрессия
Шаблон:Значения Арифмети́ческая (ра́зностная) прогре́ссия — числовая последовательность вида
то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> (шага, или разности прогрессии — от слова „дифференциация“):
Арифметическую прогрессию записывают в виде
Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:Публикация</ref>:
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. Если каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, то такая прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.
Арифметическая прогрессия, разность которой больше нуля (<math>d>0</math>), является возрастающей. Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля (<math>d<0</math>), является убывающей. Если разность равна нулю (<math>d=0</math>), то последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей; она будет стационарной. Эти утверждения непосредственно следуют из определения арифметической прогрессии.
Свойства
Общий член арифметической прогрессии
Член арифметической прогрессии с номером <math>n</math> может быть найден по формулам
- где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — её разность, <math>a_m</math> — член арифметической прогрессии с номером <math>m</math>.
Графическая интерпретация
Отметим, что в формулах общего члена <math>n</math>-й член прогрессии есть линейная функция. Поясним это так.
Если на координатной плоскости нанести точки с координатами <math>\left ( n;\, a_n \right )</math>, где <math>n</math> — номер (натуральное число), а <math>a_n</math> — <math>n</math>-й член некоторой арифметической прогрессии, то все точки будут принадлежать графику функции, задаваемой формулой:
где <math>d</math> — это разность арифметической прогрессии, а <math>a_1</math> — её первый член <ref>Шаблон:Публикация</ref>.
Это означает, что справедлива теорема:Шаблон:Теорема
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Словесная формулировка: Шаблон:Теорема
Словесно-символьная формулировка: последовательность <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия <math>\Longleftrightarrow</math> для любого её элемента выполняется условие
Шаблон:Доказательство2</math>.
Достаточность.
Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду <math>a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}</math>. Поскольку соотношения верны при всех <math>n \geqslant 2</math>, с помощью математической индукции покажем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
База индукции <math>(n=2)</math> :
<math>a_2-a_1=a_3-a_2</math> — утверждение истинно.
Переход индукции:
Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:
<math>a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
Но по предположению индукции следует, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Получаем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}</math>
Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия.}}
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
- <math>S_n=\dfrac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов. Сумма членов арифметической прогрессии равна полусумме первого и <math>n</math>-го членов, умноженной на число членов.
- <math>S_n=\dfrac{a_1+a_n}2 \cdot (\dfrac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
- <math>S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
- <math>S_n=a_{\frac{n+1}2} \cdot n</math>, если <math>n</math> — нечётное натуральное число.
| Доказательство |
|---|
| Вывод формулы для вычисления суммы <math>n</math> первых членов арифметической прогрессии основан на следующем свойстве: сумма двух членов, равноотстоящих от начала и конца арифметической прогрессии с конечным числом членов Запишем сумму двумя способами: <math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math> <math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: <math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math> Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: <math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math> Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то <math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\dfrac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой. |
Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом <math>n</math> выполняется равенство:
Примечание: <math>S_{k}</math> — сумма <math>k</math> первых членов арифметической прогрессии.
| Доказательство |
|---|
|
1. Очевидно, что <math>\dfrac{S_{2n}}{2n}-\dfrac{S_n}{n}=\dfrac{a_1+a_{2n} - \left(a_1+a_{n}\right)}2=\dfrac{a_{2n}-a_{n}}{2},</math> или <math>S_{2n}-2S_n = n \cdot (a_{2n}-a_{n}).</math> Прибавим к обеим частям <math>S_n</math> и получим, что <math>S_{2n}-S_n = S_n + n \cdot (a_{2n}-a_{n}).</math> 2. Покажем, что <math>S_n + n \cdot (a_{2n}-a_{n})=\dfrac{1}{3} S_{3n}.</math> Это так, поскольку можно написать верное равенство:
3. Теперь докажем, что <math>a_{2n}-a_{n}=\dfrac{a_{3n}-a_{n}}{2}.</math> Перепишем последнее как <math>a_{2n}=\dfrac{a_{3n}+a_{n}}{2}.</math> Но гораздо лучше представить это равенство в виде <math>a_{2n}=\dfrac{a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}.</math> Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии. Значит, действительно <math>a_{2n}-a_{n}=\dfrac{a_{3n}-a_{n}}{2}.</math> 4. А следовательно, <math>S_n + n \cdot (a_{2n}-a_{n})=\dfrac{1}{3} S_{3n}.</math> 5. Тем самым, <math>S_{2n}=S_n + \dfrac{1}{3} S_{3n},</math> что и требовалось доказать. |
Предыдущее свойство имеет обобщение.
Для любых натуральных <math>k</math>, <math>l</math>, <math>m</math> выполняется комплементарное свойство суммШаблон:Нет АИ:
Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го
Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от <math>n</math> до <math>m</math> <math>S_{m, n}=\sum_{i=n}^m a_i=a_n+a_{n+1}+ \ldots + a_m</math> может быть найдена по формулам
- <math>S_{m, n}=\dfrac{a_m+a_n}2 \cdot (m-n+1)</math> , где <math>a_m</math> — член с номером <math>m</math>, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>(m-n+1)</math> — количество суммируемых членов.
где <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>(m-n+1)</math> — количество суммируемых членов.
Произведение членов арифметической прогрессии
Произведением первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>\left\{a_n\right\}</math> называется произведение от <math>a_1</math> до <math>a_n</math>, то есть выражение вида <math>\prod\limits_{i = 1}^n a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-1} \cdot a_n.</math> Обозначение: <math>P_n</math>.
Свойство произведения:
- <math>P_n = \dfrac{1}{2^n} \prod\limits_{i = 1}^{n} {\left(a_1 + a_n +d\left(2i-\left[n+1\right]\right)\right)}</math>.
- Если <math>n</math> — нечётное натуральное число и <math>n>1</math><ref>При <math>n=1</math> произведение <math>P_n</math> равно <math>a_{\frac{1+1}{2}}=a_1</math>, что безусловно верно.</ref>, то произведение от <math>a_1</math> до <math>a_n</math> равно произведению их среднего арифметического и членов, равноотстоящих от него<ref>Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и <math>n</math>-м членом.</ref>:
<math>P_n=a_{\frac{n+1}2} \cdot \prod\limits_{i = 1}^{\frac{n-1}2} {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[id\right]}^2\right)} = a_{\frac{n+1}2} \cdot {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {d}^2\right)} \cdot {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[2d\right]}^2\right)} \cdot {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[3d\right]}^2\right)} \cdot \ldots \cdot {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[{\frac{n-3}2}\cdot d\right]}^2\right)} \cdot {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[{\frac{n-1}2}\cdot d\right]}^2\right)}.</math>
Число множителей-скобок <math>{\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[id\right]}^2\right)}</math> равно <math>\dfrac{n-1}{2}</math>, а в самом произведении <math>a_{\frac{n+1}2} \cdot \prod\limits_{i = 1}^{\frac{n-1}2} {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[id\right]}^2\right)}</math> их составляет <math>\dfrac{n+1}{2}</math> «штук».<ref>Пример применения формулы.
Пусть <math>\div\left \{ a_{n} \right \}:\quad \underbrace{ 27 }_{a_{1}},\;\underbrace{ 20 }_{a_{2}},\;\underbrace{ 13 }_{a_{3}},\;\underbrace{ 6 }_{a_{4}},\;\underbrace{ -1 }_{a_{5}}</math>, где <math>d=-7</math>.
По формуле <math>P_n = a_{\frac{n+1}2} \cdot \prod\limits_{i = 1}^{\frac{n-1}2} {\left(a_{\frac{n+1}2}^2 - {\left[id\right]}^2\right)}</math> найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться <math>\dfrac{5+1}{2} = 3</math>. Причём первым сомножителем будет <math>a_{\frac{5+1}{2}} = a_{3} = 13</math>.
Далее <math>\prod\limits_{i = 1}^{\frac{5-1}2} {\left(a_{\frac{5+1}2}^2 - {\left[id\right]}^2\right)} = \prod\limits_{i = 1}^{2} {\left(a_{3}^2 - {\left[id\right]}^2\right)} = {\left(a_{3}^2 - {\left[d\right]}^2\right)} \cdot {\left(a_{3}^2 - {\left[2d\right]}^2\right)} ={\left(169 - 49\right)} \cdot {\left(169 - 4\cdot 49\right)}= 120 \cdot {\left(-27\right)}</math>.
Наконец, <math>P_n = 13 \cdot 120 \cdot {\left(-27\right)} = -42 120</math>.</ref>
Сходимость арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и сходится при <math>d=0</math>. Причём
| Доказательство |
|---|
| Записав выражение для общего члена и исследуя предел <math>\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)</math>, получаем искомый результат. |
Связь между арифметической и геометрической прогрессиями
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть геометрическая прогрессия со знаменателем <math>a^d</math>.
| Доказательство |
|---|
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:
Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>. |
Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.
Арифметические прогрессии высших порядков
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:
- 3, 5, 7, 9, 11, …
Треугольные числа <math>1, 3, 6, 10, 15, \ldots</math> также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию <math>2, 3, 4, 5, \ldots</math>. Таким образом, для треугольного числа <math>u_n</math> с номером <math>n\in \mathbb N</math> имеет место равенство <math>u_n = \dfrac{n(n+1)}{2}</math>.
Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.
Тетраэдральные числа <math>1, 4, 10, 20, 35, \ldots</math> образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.
Если <math>\left [ a_{i} \right ]_{1}^{n}</math> — арифметическая прогрессия порядка <math>m</math>, то существует многочлен <math>P_{m}(i) = c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}</math>, такой, что для всех <math>i \in \left \{ 1, .... n \right \}</math> выполняется равенство <math>a_{i}=P_{m}(i)</math>Шаблон:Sfn
Примеры
- Натуральный ряд <math>1, 2, 3, 4, 5, \ldots</math> — это арифметическая прогрессия, в которой первый член <math>a_1=1</math>, а разность <math>d=1</math>. Сумма <math>n</math> первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:
- <math>T_n = \sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>
- <math>1, -1, -3, -5, -7</math> — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой <math>a_1=1</math> и <math>d=-2</math>.
- Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу <math>a</math>, то это есть арифметическая прогрессия, в которой <math>a_1=a</math> и <math>d=0</math>. В частности, <math>\pi, \pi, \pi, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия с разностью <math>d=0</math>.
Формула для разности
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как
- <math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>. Для арифметической прогрессии отношение разностей любых двух её членов к их индексам постоянно и равно разности этой прогрессии.
Сумма чисел от 1 до 100
Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
- <math>\frac{n(n+1)}2</math>
то есть к формуле суммы первых <math>n</math> чисел натурального ряда.