Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число <math>a</math> называется пределом последовательности <math>\{ x_n \}</math>, если для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует номер <math>N_\varepsilon</math>, зависящий от <math>\varepsilon</math>, такой, что для любого <math>n > N_\varepsilon</math> выполняется неравенство <math>\ |x_n - a| < \varepsilon</math>.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.<ref>Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.</ref> В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число <math>a \in \R</math> называется пределом числовой последовательности <math>\{x_n\}</math>, если последовательность <math>\{x_n - a\}</math> является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

<math>\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N (\varepsilon) \in \N \colon ~ n \geqslant N ~ \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon</math>

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число <math>a\in\R</math> является пределом числовой последовательности <math>\{x_n\}</math>, то говорят также, что последовательность <math>\{x_n\}</math> сходится к <math>a</math>. Если никакое вещественное число не является пределом последовательности <math>\{x_n\}</math>, её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность <math>\{x_n\}</math> стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

<math>\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E</math>

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

<math>\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E</math>

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

<math>\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E</math>

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность <math>\{x_n\}</math> сходится к числу <math>a</math> обозначается одним из следующих способов:

• <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>

или

• <math>x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a</math>

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.<ref name="ilyin">Шаблон:Книга</ref>

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства

• Единственность предела.

<math>\lim_{n\to\infty}x_n=a,\;\lim_{n\to\infty}x_n=b\;\Rightarrow\;a=b</math>

Арифметические свойства

• взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

    <math>\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n</math>

  • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

    <math>\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n </math>

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

  <math>\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n</math>

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

  <math>\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim \limits_{n \to \infty} x_n}{\lim \limits_{n \to \infty}y_n}</math>

Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a</math>

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a</math>

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a</math>

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a</math>

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n</math>

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

  <math>\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n</math>

Другие свойства

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

  <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b</math>

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

  <math>\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]</math>

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

  <math>\lim_{n \to \infty} x = x</math>

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности <math>x_n </math> существует предел, то последовательность средних арифметических <math>\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math> имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел <math>\{x_n\}</math> существует предел <math>x</math>, и если задана функция <math>f(x)</math>, определённая для каждого <math>x_n</math> и непрерывная в точке <math>x</math>, то

  <math>\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x) </math>

Примеры

• <math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0</math>

• <math>\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0</math>

• <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1</math>

• <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e</math>

• <math>\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}</math>

• <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x</math>

• <math>\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}</math>

• <math>\lim_{n \to \infty} n = +\infty</math>

• <math>\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n</math>

Случай комплексных чисел

Комплексное число <math>a</math> называется пределом последовательности <math>\{z_n\}</math>, если для любого положительного числа <math>\varepsilon</math> можно указать такой номер <math>N=N(\varepsilon)</math>, начиная с которого все элементы <math>z_n</math> этой последовательности удовлетворяют неравенству
<math>|z_n - a|< \varepsilon </math> при <math>n \geqslant N(\varepsilon)</math>

Последовательность <math>\{z_n\}</math>, имеющая предел <math>a</math>, называется сходящейся к числу <math>a</math>, что записывается в виде <math>\lim\limits_{n \to \infty}z_n = a</math>.

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве <math>x_n </math> последовательность <math>x_n = (-1)^n </math>, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, <math>1, -1 </math>, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. также

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Предел функции
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность