Частичный предел последовательности
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.
Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.
Определения
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно <math>+\infty</math> или <math>-\infty</math>.
Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.
Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.
Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.<ref name="ilyin">Шаблон:Книга</ref> Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.
Обозначения
Нижний предел последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>:
- <math>\varliminf_{n \to \infty} x_n</math> (в отечественной литературе);
- <math>\liminf_{n \to \infty} x_n</math> (в иностранной литературе).
Верхний предел последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>:
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} x_n</math> (в отечественной литературе);
- <math>\limsup_{n \to \infty} x_n</math> (в иностранной литературе).
Примеры
- <math>\varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0</math>
- <math>\varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1</math>
- <math>\varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1</math>
- <math>\nexists \varliminf_{n \to \infty} n, \nexists \varlimsup_{n \to \infty} n</math> (в другой терминологии оба предела равны <math>+\infty</math>)
Свойства
- Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентныШаблон:Efn.
- У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math> допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
- Числовая последовательность <math>\{x_n\}</math> сходится к <math>a</math> тогда и только тогда, когда <math>\varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a</math>.
- Для любого наперёд взятого положительного числа <math>\varepsilon</math> все элементы ограниченной числовой последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, начиная с некоторого номера, зависящего от <math>\varepsilon</math>, лежат внутри интервала <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)</math>.
- Если за пределами интервала <math>\left( a, b \right)</math> лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности <math>\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}</math>, то интервал <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)</math> содержится в интервале <math>\left( a, b \right)</math>.
- Множество частичных пределов замкнуто.