Неравенство Йенсена
Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.
Формулировки
Сумматорный вариант неравенства
Пусть функция <math>f</math> является выпуклой на некотором интервале <math>I</math> и числа <math>\ q_1,q_2,\ldots,q_n</math> (веса) таковы, что <math display="block">
q_1, q_2, \ldots, q_n > 0</math> и <math>q_1 + q_2 + \ldots + q_n = 1.
</math> Тогда каковы бы ни были числа <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> из <math>I</math>, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена: <math display="block">
f(q_1 x_1 + q_2 x_2 + \ldots + q_n x_n) \leqslant q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) + \ldots + q_n f(x_n),
</math> или <math display="block">
f\left(\sum_{i=1}^n q_i x_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^n q_i f (x_i).
</math>
Замечания:
- Если функция <math>f(x)</math> вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
- Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю <math>q_1 = q_2 = \frac{1}{2}</math>: <math display="block">
f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \leqslant \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}.
</math>
Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.
Шаблон:Hider f(x_n) + \frac{q_{n+1}}{q_n + q_{n+1}} f(x_{n+1})\right); </math> это даст возможность воспользоваться неравенством для <math>n</math> и установить, что выражение выше не превосходит суммы <math display="block">
q_1 f(x_1) + q_2 f(x_2) + \ldots + (q_n + q_{n+1}) f\left(\frac{q_n}{q_n + q_{n+1}} x_n + \frac{q_{n+1}}{q_n + q_{n+1}} x_{n+1}\right).
</math> Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для <math>n = 2</math>. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано. }}
Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.
Геометрическая интерпретация
Точка <math>\Big(\sum\limits_{i=1}^n q_i x_i; \sum\limits_{i=1}^n q_i f(x_i)\Big)</math> является выпуклой комбинацией <math>n</math> точек <math>\big(x_1, f(x_1)\big), \big(x_2, f(x_2)\big), \dots, \big(x_n, f(x_n)\big)</math> плоскости, лежащих на графике функции <math>f</math>. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции <math>f</math>, а это и означает, что <math>f\Big(\sum\limits_{i=1}^n q_i x_i\Big) \leqslant \sum\limits_{i=1}^n q_i f(x_i)</math>.
Интегральная формулировка
Пусть <math>\varphi</math> — выпуклая функция, <math>\mu</math> — вероятностная мера, а функции <math>f</math> и <math>\varphi(f)</math> интегрируемы. Тогда<ref>Шаблон:Книга</ref> <math display="block">
\varphi\left(\int f \,d\mu\right) \leqslant \int \varphi(f) \,d\mu.
</math>
Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид <math display="block">
\varphi\left(\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \,dx\right) \leqslant \frac{1}{b - a} \int_a^b \varphi\big(f(x)\big) \,dx.
</math>
Вероятностная формулировка
Пусть <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство, и <math>X \colon \Omega \to \mathbb{R}</math> — определённая на нём случайная величина. Пусть также <math>\varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если <math>X, \varphi(X) \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, то <math display="block">
\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)],
</math> где <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> означает математическое ожидание.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, <math>\mathcal{G} \subset \mathcal{F}</math> — под-σ-алгебра событий. Тогда <math display="block">
\varphi(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X) \mid \mathcal{G}],
</math> где <math>\mathbb{E}[\cdot \mid \mathcal{G}]</math> обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры <math>\mathcal{G}</math>.
Частные случаи
Пусть <math>a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n</math> — положительные числа, <math>p, q > 1</math>, причём <math>\frac1p + \frac1q = 1</math>. Тогда <math display="block">
\sum_{i=1}^n a_i b_i \leqslant \Big(\sum_{i=1}^n a_i^p\Big)^\frac{1}{p} \Big(\sum_{i=1}^n b_i^q\Big)^\frac{1}{q}.
</math>
Пусть <math>f(x) = \ln x</math> (вогнутая функция). Имеем: <math display="block">
\sum _{i=1}^n q_i \ln x_i \leqslant \ln\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big),
</math> или <math display="block">
\ln\prod_{i=1}^n x_i^{q_i} \leqslant \ln\sum_{i=1}^n q_i x_i.
</math> Потенцируя, получаем неравенство <math display="block">
\prod_{i=1}^n x_i^{q_i} \leqslant \sum_{i=1}^n q_i x_i.
</math> В частности, при <math>q_i = \frac{1}{n}</math> получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического): <math display="block">
\sqrt[n]{x_1 \ldots x_n} \leqslant \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}.
</math>
Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим
Пусть <math>f(x) = x \ln x</math> (выпуклая функция). Имеем: <math display="block">
\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big) \ln\Big(\sum_{i=1}^n q_i x_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^n q_i x_i \ln x_i.
</math> Положив <math display="block">
q_i = \frac{\dfrac{1}{x_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i}}
</math> и потенцируя, получаем: <math display="block">
\frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}} \leqslant (x_1 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n}
</math> (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического).
Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим
Пусть <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> (выпуклая функция). Имеем: <math display="block">
\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^n q_i x_i} \leqslant \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{x_i}.
</math> В частности при <math>q_i = \frac{1}{n}</math> получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического: <math display="block">
\frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \ldots + \dfrac{1}{x_n}} \leqslant \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}.
</math>