Канторово множество
Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.
Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера, заданный в письме от 21 июня 1882 года:<ref> Шаблон:Статья</ref>
- Пусть <math>P'</math> обозначает множество предельных точек множества <math>P</math>. Существует ли нигде неплотное множество <math>P</math>, такое что пересечение
- <math>P\cap P'\cap P\cap\dots</math>
- не пусто?
Определения
Классическое построение
Из единичного отрезка <math>C_0=[0,1]</math> удалим среднюю треть, то есть интервал <math>\left ( \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \right )</math>. Оставшееся точечное множество обозначим через <math>C_1</math>. Множество <math>C_1 = \left[0; \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}; 1\right]</math> состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через <math>C_2</math>. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем <math>C_3</math>. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств <math>C_0\supset C_1\supset C_2\supset\dots</math>. Пересечение
- <math>C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i</math>
и называется канторовым множеством.
|
|
| Множества <math>C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6</math> |
С помощью троичной записи
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в <math>n</math>-м разряде вырезаются на <math>n</math>-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление. Например, <math>0{,}1_3\in C</math>, так как <math>0{,}1_3=0{,}0(2)_3</math>. В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.
Как аттрактор
Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек <math>\{x_n\}</math> такие, что для любого <math>n</math>
- <math>x_{n + 1} = \frac{x_n}{3}</math> или <math>x_{n+1}-1 = \frac{x_n-1}{3}</math>.
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.
Как счётная степень простого двоеточия
В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — <math>\{0;1\}^{\aleph_0}</math>Шаблон:Sfn; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)Шаблон:Sfn<ref>[[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/{{{2}}}}}|/ru}}]]</ref>.
Свойства
- Канторово множество замкнуто.
- Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
- Канторово множество континуально.
- Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
- Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную <math>\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}63</math>. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
- Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
- Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
- Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.
Вариации и обобщения
Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса <math>\mathfrak{m} \geqslant \aleph_0</math> — <math>\mathfrak{m}</math>-я степень двухточечного дискретного пространства <math>\{0;1\}^{\mathfrak{m}}</math>. Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше <math>\mathfrak{m}</math>. Каждый хаусдорфов компакт веса не больше <math>\mathfrak{m}</math> есть непрерывный образ подпространства канторова куба <math>\{0;1\}^{\mathfrak{m}}</math>.
Шаблон:Iw — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Шаблон:Iw<ref>[[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/{{{2}}}}}|/ru}}]]</ref> — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.