Теорема Хелли
Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.
Формулировки
Конечные семейства
Предположим, что
- <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math>
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства <math>\R^d</math>, такое что <math>n>d</math> и пересечение любых <math>d+1</math> из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть
- <math>\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset</math>.<ref>Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177</ref>
Бесконечные семейства
Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:
Пусть <math>\{X_\alpha\}</math> есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств <math>\mathbb R^d</math>, такое что пересечение любых <math>d+1</math> из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
Следствия
- Теорема Юнга: Пусть <math>S</math> есть конечное множество точек в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве <math>\R^d</math> такое, что любые <math>d+1</math> точек из <math>S</math> можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество <math>S</math> можно накрыть единичным шаром.
- Радиус Юнга: Пусть <math>X</math> — множество точек в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве <math>\R^{d}</math>, с диаметром <math>\mathrm{diam}\, X \leqslant 2</math>. Тогда существует <math>d</math>-мерный замкнутый шар <math>B^{d}(r)</math> радиуса <math>r=\sqrt{2d/(d+1)}</math>, такой что <math>X \subset B^{d}(r)</math>. Если множество <math>X</math> не принадлежит никакому меньшему шару, то <math>X</math> содержит вершины <math>d</math>-симплекса с длиной каждого ребра <math>2</math>.<ref>Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293</ref>
- Теорема Киршбрауна
Вариации и обобщения
- Пусть <math>H</math> — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и <math>X_\alpha</math> — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств <math>H</math>. Если пересечение произвольного конечного подсемейства <math>X_\alpha</math> не пусто то <math>\cap_\alpha X_\alpha</math> также непусто.
История
Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923<ref>E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen PunktenШаблон:Недоступная ссылка, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.</ref>, уже после публикаций Радона<ref>J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthaltenШаблон:Недоступная ссылка, — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.</ref> и Кёнига<ref>D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.</ref>.