E (число)
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Шаблон:Не путать Шаблон:Не путать Шаблон:Заголовок Шаблон:Иррациональное число
<math>e</math> — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число <math>e</math> называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».
Число <math>e</math> играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.
Поскольку функция экспоненты <math>e^x</math> интегрируется и дифференцируется «сама в себя», логарифмы именно по основанию <math>e</math> принимаются как натуральные.
Способы определения
Число <math>e</math> может быть определено несколькими способами.
- Через предел: Шаблон:Lang-ref
}}
- Как сумма ряда: Шаблон:Lang-ref</math> или <math>{\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}</math>.}}
- Как единственное число <math>a</math>, для которого выполняется Шаблон:Lang-ref
- Как единственное положительное число <math>a</math>, для которого верно Шаблон:Lang-ref
- Как точка пересечения ветвей графика функции <math>x^y=y^x</math>:
График функции <math>x^y=y^x</math>
Свойства
- Производная экспоненты равна самой экспоненте:<math> \frac{de^x }{dx} = e^x.</math>
Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, общим решением дифференциального уравнения <math>\frac{df(x)}{dx} = f(x)</math> являются функции <math>f(x) = c e^x</math>, где <math>c</math> — произвольная константа. - Число <math>e</math> трансцендентно. Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом<ref>Шаблон:Книга</ref>. Трансцендентность числа <math>e</math> следует из теоремы Линдемана.
- Предполагается, что <math>e</math> — нормальное число, то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
- Число <math>e</math> является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
- <math>e^{ix} = \cos(x) + i\cdot\sin(x)</math>, см. формула Эйлера, в частности Шаблон:Lang-ref
- Формула, связывающая числа <math>e</math> и <math>\pi</math>, т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса Шаблон:Lang-ref
- Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: Шаблон:Lang-ref
- Другие связи между константами: Шаблон:Lang-ref
- Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном: Шаблон:Lang-ref}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}</math>}}
- Число <math>e</math> разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в<ref>Шаблон:Cite web</ref>): Шаблон:Lang-ref}}}}}}}}}}} </math>}}}} или в эквивалентной записи: Шаблон:Lang-ref}}} </math>}}
- Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение: Шаблон:Lang-ref}}</math>}}
- <math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
- Представление Каталана: Шаблон:Lang-ref\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots</math>}}
- Шаблон:Якорь Представление через бесконечное произведение: Шаблон:Lang-ref
- Представление через числа Белла: Шаблон:Lang-ref
- Мера иррациональности числа <math>e</math> равна <math>2</math> (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел)<ref>Шаблон:MathWorld</ref>.
- Число <math>e</math> иррационально. Доказательство иррациональности является элементарным.
Доказательство иррациональности
Предположим, что <math>e</math> рационально. Тогда <math>e=p/q</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>q</math> — натуральное. Следовательно Шаблон:Lang-ref Умножая обе части уравнения на <math>(q-1)!</math>, получаем Шаблон:Lang-ref Переносим <math>\sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math> в левую часть: Шаблон:Lang-ref Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.
С другой стороны, Шаблон:Lang-ref Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем: Шаблон:Lang-ref Поскольку <math>q\ge 1</math>, Шаблон:Lang-ref
Получаем противоречие.
История
Данное число раньше иногда называли неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа <math>x</math> был равен <math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)</math>.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма <math>\$1</math> и начисляется <math>100\%</math> годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет <math>\$2</math>. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то <math>\$1</math> умножается на <math>1{,}5</math> дважды, получая <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}5^2 = \$2{,}25</math>. Начисления процентов раз в квартал приводит к <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}25^4 = \$2{,}44140625</math>, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>, и этот предел равен числу <math>e ~ (\approx 2{,}71828)</math>.
Шаблон:Lang-ref Таким образом, константа <math>e</math> означает максимально возможную годовую прибыль при <math>100\%</math> годовых и максимальной частоте капитализации процентов<ref name="OConnor">Шаблон:Cite web</ref>.
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой <math>b</math>, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву <math>e</math> начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58. Шаблон:Wayback</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, <math>e</math> обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву <math>c</math>, буква <math>e</math> применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
В языках программирования символу <math>e</math> в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Количество знаков после запятой
| Дата | Десятичные цифры | Вычислил |
|---|---|---|
| 1690 | 1 | Якоб Бернулли |
| 1714 | 13 | Роджер Котс<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria, " Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, …)</ref> |
| 1748 | 23 | Леонард Эйлер<ref>Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.</ref> |
| 1853 | 137 | Вильям Шенкс<ref>William Shanks, Contributions to Mathematics, … (London, England: G. Bell, 1853), page 89.</ref> |
| 1871 | 205 | Вильям Шенкс<ref>William Shanks (1871) "On the numerical values of Шаблон:Mvar, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, and Шаблон:Math, also on the numerical value of Шаблон:Mvar the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals, " Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27-29.</ref> |
| 1949 | 2010 | Джон фон Нейман (на ENIAC) |
| 1961 | Шаблон:Num | Дэниел Шенкс and Шаблон:Iw<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">Шаблон:Cite journal</ref> |
| 1978 | Шаблон:Num | Стив Возняк (на Apple II)<ref name="wozniak198106">Шаблон:Cite magazine</ref> |
Число известных цифр числа Шаблон:Mvar существенно возросло с момента появления компьютера, как из-за повышения производительности компьютеров, так и из-за усовершенствования алгоритмов<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant Шаблон:Mvar and its computation</ref><ref>Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast</ref>.
Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы знаков числа Шаблон:Mvar за приемлемое время. 24 декабря 2023 года Джордан Раноус установил рекорд, доведя число Шаблон:Mvar до Шаблон:Num знаков<ref>Шаблон:Cite web</ref>.
Мнемоника
Мнемоническое правило для числа Эйлера с точностью до 21 знака после запятой: 2 и 7, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов), после них три первых простых числа (2, 3 и 5) и количество градусов в полном обороте (360).
Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила для первых девяти цифр после запятой:
Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой
Приближения
<math> e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6}</math>, с точностью 0,000001.
В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа <math>e</math> будут подходящие дроби разложения числа <math>e</math> в непрерывную дробь.
- Число 19/7 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,004;
- Число 87/32 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0005;
- Число 193/71 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,00003;
- Число 1264/465 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,000003;
- Число 2721/1001 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0000002;
Площадь поверхности квадратной пирамиды, у которой боковые грани правильные треугольники с длиной ребра 1 (точность 0,014).Шаблон:Значимость факта?
Открытые проблемы
- Неизвестно, является ли число <math>e</math> элементом кольца периодов.
- Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> алгебраически независимыми<ref>Шаблон:MathWorld</ref><ref>Шаблон:MathWorld</ref><ref>Шаблон:MathWorld</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:MathWorld</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.
- Неизвестно, является ли первое число Скьюза <math>e^{e^{e^{79}}}</math> целым числом.
См. также
Примечания
Ссылки
- [[Категория:Слова {{ #switch: Кругосвет|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:http://krugosvet.ru/node/41097%7C{{ #switch: http://krugosvet.ru/node/41097%7Cда=/ru%7Cнет=%7C/http://krugosvet.ru/node/41097}}%7C/ru}}]]
- Шаблон:Статья (статья с примерами физического смысла констант <math>\pi</math> и <math>e</math>)
- Шаблон:Cite web
- e for 2.71828…Шаблон:Ref (история и правило Джексона)
- «Экспонента и число е: просто и понятно Шаблон:Wayback» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplainedШаблон:Ref
- Простое доказательство трансцендентности чисел e (на школьном уровне) и π см. стр. 520—535 Веберъ Г., Вельштейнъ И. Энциклопедiя элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализъ. 1906
Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:Числа с собственными именами Шаблон:Иррациональные числа Шаблон:Производные буквы E