Теория возмущений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теория возмущений — метод приближённого решения задач прикладной математики и теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

<math>A = A^{(0)} + \varepsilon A^{(1)} + \varepsilon^2 A^{(2)} + ...</math>

где <math>A^{(0)}</math> — решение невозмущённой задачи, <math>\varepsilon</math> — малый параметр. Коэффициенты <math>A^{(n)}</math> находятся путём последовательных приближений, то есть <math>A^{(n)}</math> выражается через <math>A^{(0)}, ... , A^{(n-1)}</math>. Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

Метод теории возмущений основан на теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров.<ref name="Arn2018">В.И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: МЦНМО, 2018. — ISBN 978-5-4439-1254-7 — c. 102-103</ref>

В небесной механике

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача <math>N</math> тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к <math>N-1</math> независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты <math>a_i</math>) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

<math>a_i(t) = a_i^{(0)} = {\rm const},</math>

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

<math>\frac{d a_i}{dt} = \varepsilon f_i(a_1, a_2, ... a_6, t) \qquad\qquad (*)</math>

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

<math>a_i(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon a_i^{(1)}(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon \int_0^t f_i(a_i^{(0)}, \tau) d\tau.</math>

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

<math>H = H^{(0)} + V</math>

где <math>H^{(0)}</math> — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а <math>V</math> — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений

Шаблон:Main

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

<math>H | \psi_n \rangle = E_n | \psi_n \rangle \qquad\qquad(**)</math>

в виде разложения в ряд

<math>\psi_n = \psi_n^{(0)} + \psi_n^{(1)} + \psi_n^{(2)} + ...</math>
<math>E_n = E_n^{(0)} + E_n^{(1)} + E_n^{(2)} + ...\qquad\qquad(***)</math>

где <math>\psi_n^{(0)}</math> и <math>E_n^{(0)}</math> — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

<math>H^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle,</math>

а число <math>n</math> нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

<math>(V - E_n^{(1)}) | \psi_n^{(0)} \rangle = (E_n^{(0)} - H^{(0)}) | \psi_n^{(1)} \rangle</math>

Домножая слева на <math>\psi_m^{(0)}</math>, и учитывая, что <math>\psi_m^{(0)}</math> — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

<math>E_n^{(1)} = V_{nn}</math>
<math>\psi_n^{(1)} = \sum_{m\neq n} \frac{V_{mn}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)},</math>

где <math>V_{mn} \equiv \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle</math> — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень <math>E_n^{(0)}</math> невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Нестационарная теория возмущений

Шаблон:В планах

В квантовой теории поля

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры <math>\alpha \approx 1/137</math>). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по <math>\alpha</math><ref>E. de Rafael. Update of the Electron and Muon g-Factors // Шаблон:Wayback arXiv:1210.4705 [hep-ph]</ref>.

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

<math>T_{inst} = A \exp (-1/g)</math>, где <math>g</math> — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке <math>g = 0 </math>, а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по <math>g</math>.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Теория_возмущений&oldid=5815