Эксцентриситет

Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом <math>F</math> и директрисой: <math>FP = e \cdot PP'</math>

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается <math>e</math> или <math>\varepsilon</math>.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>L</math> и зададим вещественное число <math>e>0</math>; тогда геометрическое место точек <math>P</math>, для которых отношение расстояний до точки <math>F</math> и до прямой <math>L</math> равно <math>e</math>, является коническим сечением; то есть, если <math>P'</math> есть проекция <math>P</math> на <math>L</math>, то

<math>FP = e \cdot PP'</math>.

Это число <math>e</math> называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

• Точка <math>F</math> называется фокусом конического сечения.

• Прямая <math>L</math> называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением

<math>r = \frac{\ell}{1 - e\cos\varphi},</math>

где <math>e</math> — эксцентриситет, а <math>\ell</math> — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением <math>z=1-x^2</math>, получающейся при сечении плоскостью y=0

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при <math>e>1</math> — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
  • при <math>e=1</math> — парабола;
  • при <math>0\le e<1</math> — эллипс;
  • для окружности полагают <math>e=0</math>.

• Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году<ref>Шаблон:Книга</ref>) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра<ref>Шаблон:Книга</ref>.
• Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой (<math>b</math>) и большой (<math>a</math>) полуосей:

<math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.

• Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (<math>b</math>) и действительной (<math>a</math>) полуосей:

<math>e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>.

• Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением <math>f(x)={k\over x}, x\neq 0, k\neq 0</math>, равен <math>\sqrt{2}</math>.

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- (<math>r_\mathrm{per}</math>) и апоцентров (<math>r_\mathrm{ap}</math>):

<math>e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1}</math>.

См. также

• Эксцентриситет орбиты
• Коническая константа

Литература

• Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки

• «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.