Теорема Ролля
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что Шаблон:Рамка Если вещественная функция <math>f(x)</math>, непрерывная на отрезке <math>[a, b]</math> и дифференцируемая на интервале <math>(a, b)</math>, принимает на концах отрезка <math>[a,b]</math> одинаковые значения <math>f(a) = f(b)</math>, то на интервале <math>(a, b)</math> найдётся хотя бы одна точка <math>c</math>, в которой производная функции равна нулю: <math>f'(c) = 0</math>.
Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку функция непрерывна на <math>[a,b]</math>, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.
Геометрический и физический (механический) смысл
С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдётся точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
Механический смысл теоремы в том, что если некоторое тело в начальный и конечный моменты времени находилось в одной точке пространства, а между ними двигалось по прямой (или, иначе говоря, в одномерном пространстве), то хотя бы в один момент времени между ними его скорость была равна нулю (в простейшем случае оно двигалось в одном направлении, потом остановилось и двинулось в противоположном).
Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры
Все условия теоремы — непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка — существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.
Следствия
- Если дифференцируемая функция обращается в нуль в <math>n</math> различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в <math>n - 1</math> различных точках<ref>Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — С. 43.Шаблон:Уточнить ссылку</ref>, причём эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
- Если все корни многочлена <math>n</math>-й степени действительные, то и корни всех его производных до <math>n - 1</math> включительно — также исключительно действительные.
- Теорема Лагранжа: дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.