Лемма Ферма

Лемма Ферма́ — одно из базовых утверждений классического анализа: производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Выдвинуто Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах<ref>Шаблон:Книга Шаблон:Cite web</ref>; у Ньютона этот факт упоминался как «принцип остановки»<ref>Шаблон:Книга</ref>: «когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад».

В современной нотации для функции <math>f \colon M \subset \R \to \R</math>, имеющей во внутренней точке области определения <math>x \in M^0</math> локальный экстремум и имеющей односторонние производные <math>f'_+(x_0),f'_-(x_0)</math> (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом:

• если <math>x_0</math> — точка локального максимума, то

  <math>f'_+(x_0) \leqslant 0,\; f'_-(x_0) \geqslant 0</math>;

• если <math>x_0</math> — точка локального минимума, то

  <math>f'_+(x_0) \geqslant 0,\; f'_-(x_0) \leqslant 0</math>.

В частности, если функция <math>f</math> имеет в <math>x_0</math> производную, то <math>f'(x_0) = 0</math>.

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть точкой перегиба).

Примеры

Для <math>f(x) = |x|</math> точка <math>x = 0</math> — локальный минимум, и:

<math>f'_+(0) = 1 \geqslant 0</math>, <math>f'_-(0) = -1 \leqslant 0</math>

(при этом сама функция не является дифференцируемой в точке <math>x = 0</math>).

Для <math>f(x) = x^2</math> точка <math>x = 0</math> — локальный минимум, и <math>f'(0) = 0</math>.

Для <math>f(x) = x^3</math> производная в нуле обращается в нуль (<math>f'(0) = 0</math>), но точка <math>x = 0</math> не является точкой локального экстремума.