Формула конечных приращений
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }}
Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция <math> f </math> непрерывна на отрезке <math>[a; b]</math> и дифференцируема в интервале <math>(a;b)</math>, то найдётся такая точка <math> c\in (a;b)</math>, что
- <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)</math>.
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке <math>[a;b]</math> найдётся внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
Механическое истолкование: Пусть <math>f(t)</math> — расстояние точки в момент <math>t</math> от начального положения. Тогда <math>f(b)-f(a)</math> есть путь, пройденный с момента <math> t=a </math> до момента <math> t=b </math>, отношение <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени <math>t\in (a,b)</math>, то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.
Конечные и бесконечно малые приращения
Название «конечные приращения» объясняется, что, если в формуле <math>f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)</math>, левая часть <math>\Delta y=f(b)-f(a)</math> есть приращение функции, а в правой части присутствует приращение аргумента <math>\Delta x =b-a</math>. В этих обозначениях формулу можно переписать как
- <math>\Delta y=f'(c)\Delta x,</math>
что в свою очередь уже очень похоже на определение дифференциала:
- <math>dy=f'(x)dx</math>
с той лишь разницей, что в формуле конечных приращений у нас дана формула нахождения истинного приращения <math>\Delta y</math>, но через производную <math>f'(c)</math> в точке <math>c</math>, которая находится где-то между <math>a</math> и <math>b</math>. Если же в формуле <math>\Delta y=f'(c)\Delta x</math> устремить <math>\Delta x</math> к нулю, то в пределе мы получим <math>dy=f'(x)dx</math><ref>Шаблон:Книга</ref>.
Доказательство
Для доказательства сведём к теореме Ролля. Рассмотрим функцию <math>F(x) = f(x) - kx</math> и найдём такое <math>k</math>, при котором <math>F(a) = F(b)</math>. Остальные условия для теоремы Ролля, а именно непрерывность на отрезке и дифференцируемость на интервале, очевидно, выполнятся.
<math>F(a) = f(a) - ka = F(b) = f(b) - kb \Rightarrow kb - ka = f(b) - f(a)\Rightarrow k = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>
По теореме Ролля, <math>\exists c \in (a;b): F'(c) = 0. </math> Значит, <math>f'(c) = \frac{d}{dx}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>
Приложения
- Теорема Лагранжа иногда может быть применена при раскрытии неопределённостей для нахождения пределов.
Вариации и обобщения
Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.
- Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.
Доказательство. Для любых <math>x</math> и <math>y</math> существует точка <math>c</math>, такая что <math>f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) = 0</math>.
Значит, при всех <math>x</math> и <math>y</math> верно равенство <math>f(y) = f(x)</math>.
Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция <math>f(x)</math> возрастает/убывает на отрезке <math>[a,b]</math> тогда и только тогда, когда её производная <math>f'(x)</math> на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции <math>f(x)</math>.
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция <math>f</math> дифференцируема <math>n</math> раз в окрестности точки <math>x</math>, то для малых <math>h</math> (то есть тех, для которых отрезок <math>[x,x+h]</math> лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:
- <math>f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f(x)\frac{h^2}{2} + ... + f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!} + f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^{n}}{n!}</math>
где <math>\theta</math> — некоторое число из интервала <math>(0,1)</math>.
Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При <math>n=1</math> из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.
- Если функция <math>n</math> переменных <math>f(x_1, x_2,\dots,x_n)</math> дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}</math>
Доказательство для <math>n=2</math>. Зафиксируем значения <math>\Delta x</math> и <math>\Delta y</math> и рассмотрим разностные операторы
- <math>\Delta_x: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}</math> и <math>\Delta_y: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}</math>.
По теореме Лагранжа существуют числа <math>\theta_1,\theta_2\in(0,1)</math>, такие что
- <math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2\Delta y) \rightarrow \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)</math>
при <math>(\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0</math> в силу непрерывности вторых производных функции <math>f(x,y)</math>.
Аналогично доказывается, что <math>\Delta_x\Delta_y f(x,y)\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>.
Но так как <math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_x\Delta_y f(x,y)</math>, (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.
Замечание. Следствием этой формулы является тождество <math>d^2 = 0</math> для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.
- Формула Ньютона — Лейбница. Если функция <math>f(x)</math> дифференцируема на отрезке <math>[a,b]</math> и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: <math>\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a)</math>.
Доказательство. Пусть <math>T</math> — произвольное разбиение <math>a=x_0 < x_1 < x_2 < ... <x_n = b</math> отрезка <math>[a,b]</math>. Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков <math>[x_{k-1}, x_k]</math> найдём точку <math>\xi_k</math> такую, что <math>f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = f(x_k) - f(x_{k-1})</math>.
Суммируя эти равенства, получим: <math>\sum\limits_{k=1}^{n} f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = \sum\limits_{k=1}^{n} (f(x_k) - f(x_{k-1})) = f(b) - f(a)</math>
Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла <math>\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx</math> и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.
Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).
- Теорема об оценке конечных приращений. Пусть отображение <math>F:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m</math> непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области <math>\Omega</math> пространства <math>\mathbb{R}^n</math>. Тогда <math>|F(y) - F(x)| \leq \sup\limits_{\xi\in \Omega}|DF(\xi)|\cdot |y - x|</math>.
Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Примечания
См. также
- Лагранж, Жозеф Луи
- Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.