Проекция Меркатора
Равноуго́льная цилиндри́ческая прое́кция Мерка́тора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми вблизи экватора равно расстоянию между меридианами и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80—85° северной и южной широты.
Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.
Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2—3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. Однако в реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.
Другой заметный пример - Россия, несмотря на размер, всего лишь в 1,7 раза больше по площади, чем США, и в 2,2 раза больше по площади, чем Австралия.
Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (то есть с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.
Математическое выражение проекции Меркатора
Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки <math>\lambda</math> (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах):
- <math>x=c(\lambda-\lambda_0).</math>
Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси Шаблон:Math на широте <math>\theta</math> равен просто <math>c/(R\cos\theta)</math> (Шаблон:Math — радиус Земли), то из условия <math>dy R\cos\theta/c= R d\theta</math> мы получаем выражение для зависимости Шаблон:Math от <math>\theta</math>:
- <math>
\begin{matrix} y &=& c \ln\operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\
&=& c \,\operatorname{arth}\sin\theta.
\end{matrix} </math>
(Здесь arth — обратный гиперболический тангенс).
Функция <math>\operatorname{arth}\sin\theta</math> носит специальное название функции Ламберта, или ламбертиана (в честь Иоганна Ламберта) и иногда обозначается как <math>\operatorname{lam}\theta</math> или <math>\operatorname{arcgd}\theta</math> (см. также Интеграл от секанса).
Обратное преобразование (из линейной координаты Шаблон:Math в широту Шаблон:Math) носит название функции Гудермана, или гудерманиана (в честь Кристофа Гудермана) и обозначается <math>\operatorname{gd} y.</math> Обратное преобразование координаты Шаблон:Math в долготу Шаблон:Math является, как и прямое преобразование, линейной функцией:
- <math>
\begin{matrix} \theta &=& \operatorname{gd} y = 2\operatorname{arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \\ \ &=& \operatorname{arctg} \left( \operatorname{sh} (y/c) \right), \\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0. \end{matrix} </math>
Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (Шаблон:Math — большая полуось, Шаблон:Math — малая полуось) в географических координатах
- <math>
dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\operatorname{tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3}, </math> перейти в ней к координатам Шаблон:Math и Шаблон:Math и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем
- <math>
\begin{matrix} x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\ y &=& c [\operatorname{arth}\sin\theta-\varepsilon\operatorname{arth}(\varepsilon\sin\theta)]. \end{matrix} </math> Здесь <math>\varepsilon=\sqrt{a^2-b^2}/a</math> — эксцентриситет земного эллипсоида.
Обратное преобразование, вообще говоря, не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому <math>\varepsilon</math>. Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:
- <math>\theta_{n+1} = f \left(\theta_{n},y\right)</math>, где <math>\theta_0</math> можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида.
- <math>\theta_{n+1} = \arcsin\left(1-\frac{(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}{e^\frac{2y}{c}(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon}\right) </math>