Преобразование Мёбиуса

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)

Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства <math>\widehat{\R}^n = \R^n \cup \{\infty\}</math>, представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме ЛиувилляШаблон:Sfn.

Общая мёбиусова группа <math>GM(\widehat{\R})^n</math> — конечномерная группа всех преобразования Мёбиуса пространства <math>\widehat{\R}^n</math>Шаблон:Sfn.Шаблон:Sfn

Мёбиусова группа <math>M(\widehat{\R})^n</math> — подгруппа общей мёбиусовой группы <math>GM(\widehat{\R})^n</math> всех преобразования Мёбиуса, сохраняющих ориентацию пространства <math>\widehat{\R}^n</math>, причём эта подгруппа изоморфна специальной ортогональной группе <math>SO(n + 1, 1)</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости, считающегося классическим, для которого в русскоязычной литературе используют термин дробно-линейное преобразованиеШаблон:Sfn.

В классическом двумерном случае <math>\R^2</math> преобразование Мёбиуса, оно же круговое преобразование, определяется как отображающее окружность на окружность. Здесь возможны два случаяШаблон:Sfn:

• преобразование Мёбиуса как точечное преобразование — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства <math>\widehat{\R}^2 = \R^2 \cup \{\infty\}</math>, отображающее окружность или прямую в окружность или прямую. Имеет место точечная аналлагматическая геометрия;
• преобразование Мёбиуса как неточечное преобразование — касательное преобразование, основной элемент которого не точка, а линейный элемент (прямая и точка — частный случай окружности). Имеет место круговая аналлагматическая геометрия.

Для случая <math>n=1</math> одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.

Проективно расширенная числовая прямая

Шаблон:Дополнить раздел В случае <math>n=1</math> пространство <math>\R \cup \{\infty\}</math> представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

<math>f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty \end{cases} \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>

Расширенная комплексная плоскость

Шаблон:Переработать раздел В случае <math>n=2</math> пространство <math>\R^2 \cup \{\infty\}</math> можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:

<math>f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}, & x \neq \infty, \\ \displaystyle \frac{a}{c}, & x = \infty, \end{cases} \quad a, b, c, d \in \mathbb{C}, \quad \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>

В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Легко проверяются следующие простые свойства:

1. Тождественное отображение <math>f(z)=z</math> также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить <math>a=d=1,\;b=c=0.</math>
2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойства

При умножении параметров <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы <math>GL_2(\mathbb C)</math>, то есть имеет место эпиморфизм: <math>\left(\begin{matrix}a&&b\\c&&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}</math>.

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца <math>SO^\uparrow(1,\;3)</math>.

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию <math>ad-bc=1</math>. Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного <math>a+d</math>, можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

• эллиптические: <math>|a+d|<2</math>;
• параболические: <math>a+d=\pm 2</math>;
• гиперболические: <math>|a+d|>2</math>.

Геометрические свойства

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> разложимо в суперпозицию четырёх функций:

<math>f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),</math>

где

<math>\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}</math>

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек <math>z_1,\;z_2,\;z_3</math> существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки <math>w_1,\;w_2,\;w_3</math>. Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка <math>w(z)</math> является образом точки <math>z</math>, то выполняется равенство

<math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w(z))(w_2-w_3)},</math>

которое (при условии, что <math>z_i \ne z_j, w_i \ne w_j </math> при <math> i \ne j </math>) однозначно определяет искомое отображение <math>w(z).</math>

Преобразование Мёбиуса и единичный круг

Преобразование Мёбиуса

<math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>

является автоморфизмом единичного круга <math>\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}</math> тогда и только тогда, когда <math>a{\bar b}=c{\bar d}</math> и <math>|a|=|d|>|c|</math>.

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

<math>f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi}|=1.</math>

Примеры

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

<math>W(z)=\frac{z-i}{z+i}.</math>

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость <math>{\mathbb C}^+</math> в единичный круг <math>\Delta</math>.

Пространства старших размерностей

Шаблон:Дополнить раздел Начиная с <math>n=3</math> любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:

• <math>f(x)=b+A(x-a)</math>
• <math>f(x)=b+\dfrac{A(x-a)}{|x-a|^2}</math>,

где <math>a,b \in \R</math>, <math>A</math> — ортогональная матрица.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Ссылки

• Moebius Transformations Revealed Шаблон:Wayback на YouTube.
  • то же (с русскими субтитрами) Шаблон:Wayback.