Полуплоскость
Полупло́скость — множество всех точек плоскости, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/><ref name=Курант254-5/><ref name=Рохлин13-4/><ref name=Киселёв172/>, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне прямой<ref name=Рохлин13-4/>. Эта прямая определяет полуплоскость<ref name=Курант254-5/><ref name=Гусятников7/> и является её границей<ref name=Рохлин13-4/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>, а полуплоскость исходит из своей границы<ref name=Киселёв182/>, или просто полуплоскость от границы<ref name=Понарин91/>.
В некоторых источниках граница полуплоскости ей принадлежит, то есть полуплоскость замкнута<ref name=Рохлин13-4/><ref name=Gray164/><ref name=Гусев388/>. В некоторых школьных материалах открытость или замкнутость полуплоскости может быть несущественной<ref name=Киселёв/>.
Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
Полуплоскость есть выпуклая неограниченная область как одновременно открытое множество<ref name=Рохлин16/> и неограниченное выпуклое множество<ref name=Болтянский182/>.
Другое название замкнутой полуплоскости — односторонник, это простейший плоский выпуклый многосторонник<ref name=Болтянский209/>.
Для двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского) построена модель Пуанкаре с метрикой Пуанкаре верхней полуплоскости<ref name=Gray876/>.
Полуплоскость, обобщение полупрямой и частный случай полупространства, обладает по сравнение с ними следующей особенностью: полуплоскость может быть комплексной<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
На комплексной плоскости верхняя полуплоскость имеет следующее важное свойство. Для любой точки границы единичного круга найдётся такое аналитическое отображение круга на верхнюю полуплоскость, что все преобразования с неподвижной этой точкой переходят в линейные преобразования верхней полуплоскости<ref name=Пятецкий-Шапиро9/>.
Полуплоскость также есть частный случай трубчатой области<ref name=Шабат19/>.
Определение полуплоскости
Полуплоскость <math>H</math> — множество всех точек <math>M</math> плоскости, которые находятся по ту же сторону от некоторой прямой <math>L</math> на этой плоскости, что и некоторая заданная точка <math>A</math> вне прямой, то есть полуплоскость <math>H</math> — это точка <math>A</math> и множество всех точек <math>M</math> таких, что отрезок <math>AM</math> не имеет общих точек с прямой <math>L</math><ref name=Розенфельд36/>. Прямая <math>L</math> определяет полуплоскость <math>H</math><ref name=Курант254-5/><ref name=Гусятников7/> и является её границей<ref name=Рохлин13-4/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
Замкнутая полуплоскость <math>\bar H</math> — полуплоскость со своей границей <math>\partial H</math>, <math>\bar H = H \cup \partial H</math><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
Теорема 1. Две точки <math>A \notin L</math> и <math>M \notin L</math> на одной плоскости лежат в одной и той же полуплоскости, которая определяется прямой <math>L</math>, тогда и только тогда, когда <math>L</math> не пересекается с отрезком <math>AM</math><ref name=Гусятников7/>.
Теорема 2. Произвольная прямая <math>L</math> на плоскости <math>P</math> делит эту плоскость на две полуплоскости <math>H_1</math> и <math>H_2</math><ref name=Гусятников7/><ref name=Розенфельд36/><ref name=Gray164/>. Более формально: на плоскости <math>P</math> вне прямой <math>L \subset P</math> существуют точки <math>A</math> и <math>B,</math> <math>A,\, B \notin L</math>, такие, что разные полуплоскости <math>H_1 \subset P</math> и <math>H_2 \subset P</math>, которым принадлежат эти точки, <math>A \in H_1</math>, <math>B \in H_2</math>, заполняют с прямой <math>L</math> всю плоскость и имеют своими границами <math>L</math>, то есть <math>H_1 \cup H_2 \cup L= P</math> и <math>\partial H_1 = \partial H_2 = L</math><ref name=Розенфельд36/><ref name=Gray164/>.
Декартовы координаты
В общем двумерном случае на плоскости <math>\R^2</math> с декартовыми координатами <math>(x,\, y)</math> координаты точек полуплоскости отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой
- <math>L(x,\, y) = Ax + By + C > 0</math>,
где <math>A,\, B,\, C</math> — постоянные, причём <math>A</math> и <math>B</math> одновременно не равны нулю<ref name=Курант254-5/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
Граница полуплоскости — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая
- <math>L(x,\, y) = Ax + By + C = 0</math><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.
Комплексные координаты
На комплексной плоскости <math>\C</math> с координатами <math>z = x + iy</math> обычно рассматриваются следующие частные случаи<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>:
- верхняя полуплоскость <math>y = \operatorname{Im}z > 0</math>,
- нижняя полуплоскость <math>y = \operatorname{Im}z < 0</math>,
- левая полуплоскость <math>x = \operatorname{Re}z < 0</math>,
- правая полуплоскость <math>x = \operatorname{Re}z > 0</math>.
Все полуплоскости, граница которых проходит через начало координат, можно представить следующей формулой<ref name=Korevaar26/>:
- <math>t - \frac\pi2 < \operatorname{Arg}z < t + \frac\pi2</math>, <math>\,\,0 \leqslant t < 2\pi</math>.
Прямая и полуплоскость на комплексной плоскости
Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную прямую <math>L \subset \C</math>. Эта прямая определяется произвольной точкой <math>a \in L</math> и вектором направления прямой <math>b \in \C</math>, поэтому её уравнение будет следующим<ref name=Conway6/>:
- <math>L = \{z = a + tb\colon\, b \ne 0,\, -\infty < t < \infty,\, t \in \R\}.</math>
Так как <math>b \ne 0</math>, то уравнение прямой перепишем в следующем виде<ref name=Conway6-7/>:
- <math>L = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b = 0,\, b \ne 0\right\}.</math>
Так как <math>b \in \C</math> — направление прямой, положим <math>|b| = 1</math>. В этом случае пусть <math>a = 0</math> и рассмотрим полуплоскость
- <math>H_0 = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac z b > 0\right\}</math>,
где <math>b = e^{i\beta}</math>. Теперь при <math>z = re^{i\theta}</math> имеем <math>\frac z b = re^{i(\theta - \beta)}</math>. Таким образом, <math>z</math> принадлежит полуплоскости <math>H_0</math>, <math>z \in
H_0</math>, тогда и только тогда, когда <math>\sin(\theta - \beta) > 0</math>, то есть когда <math>\beta < \theta < \pi + \beta</math>. Следовательно, полуплоскость <math>H_0</math> лежит слева от прямой <math>L</math>, если «идти по <math>L</math> в направлении <math>b</math>»<ref name=Conway7/>.
Таким образом, полуплоскость
- <math>H_a = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b > 0\right\}</math>
есть параллельный перенос полупроскости <math>H_0</math> на вектор <math>a</math>, <math>H_a = a + H_0 \equiv \{a + w\colon\, w \in H_0\}</math>. Следовательно, полуплоскость <math>H_a</math> лежит слева от прямой <math>L</math>. Точно так же полуплоскость
- <math>K_a = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b < 0\right\}</math>
лежит справа от прямой <math>L</math><ref name=Conway7/>.
Пример. Определение касательной
Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную окружность <math>C \subset \C</math>, <math>C = \{z \in \C\colon\, |z - c| = r,\, r > 0,\, r \in \R\}.</math> Возьмём на окружности <math>C</math> произвольную точку <math>a</math>, <math>a = c + re^{i\alpha}</math>, и проведём через неё следующую прямую<ref name=Conway7-8/>:
- <math>L_\beta = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b = 0,\, b = e^{i\beta}\right\}.</math>
Прямая <math>L_\beta</math> касается окружности <math>C</math> в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда окружность <math>C</math> полностью, кроме точки <math>a</math>, принадлежит одной из полуплоскостей с границей <math>L_\beta</math>, то есть когда для произвольной точки <math>z = c + re^{i\gamma}</math> окружности <math>C</math>, <math>\gamma \ne \alpha</math>,
- <math>\operatorname{Im}\frac{z - a}b > 0\,\,</math> или <math>\,\,\operatorname{Im}\frac{z - a}b < 0</math>,
то есть
- <math>\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \cos\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) \ne 0</math>,
поскольку верна следующая цепочка равенств<ref name=Conway8/>:
- <math>\frac{z - a}b = \frac{c + re^{i\gamma} - (c + re^{i\alpha})}{e^{i\beta}} =
\frac{e^{i\gamma} - e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} =</math>
- <math>= \frac1{e^{i\beta}} (\cos\gamma + i\sin\gamma - (\cos\alpha + i\sin\alpha)) =</math>
- <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(-2\sin\frac{\gamma + \alpha}2 \sin\frac{\gamma - \alpha}2 + 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \cos\frac{\gamma + \alpha}2\right) =</math>
- <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \left(i\sin\frac{\gamma + \alpha}2 + \cos\frac{\gamma + \alpha}2\right)\right) =</math>
- <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 e^{\frac{\gamma + \alpha}2}\right) = 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 e^{\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta} =</math>
- <math>= 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \left(\cos\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) + i\sin\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right)\right)</math>.
Так как <math>\gamma \ne \alpha</math>, то решением неравенства будет совокупность неравенств, состоящая из двух систем неравенств:
- 1) <math>\frac{\gamma - \alpha}2 \ne 0</math>, <math>\,\,\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) \ne -\frac\pi2</math>,
- <math>\frac{\gamma - \alpha}2 \ne 0</math>, <math>\,\,\left(\frac{\gamma - \alpha}2 + \alpha - \beta + \frac\pi2\right) \ne 0</math>,
- <math>\gamma \ne \alpha</math>, <math>\,\,\alpha - \beta + \frac\pi2 = 0</math>;
- 2) <math>\gamma \ne \alpha</math>, <math>\,\,\alpha - \beta - \frac\pi2 = 0</math>,
откуда окончательно получаем<ref name=Conway8/>:
- <math>\beta = \alpha \pm \frac\pi2</math>.
Отображения с полуплоскостью
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
1. Единичный круг. На комплексной плоскости <math>\C(z)</math> единичный круг <math>|z| < 1</math> и верхняя полуплоскость <math>\operatorname{Im}z > 0</math> дробно-линейно изоморфны<ref name=Домрин34/>, поскольку верхняя полуплоскость конформно отображается на единичный круг следующим дробно-линейным отображением<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>:
- <math>e^{i\theta}\frac{z - a}{z - \bar a},\, a \in \C,\, \theta \in \R,\, \operatorname{Im}a > 0.</math>
2. Полуполоса. На комплексной плоскости <math>\C</math> с координатами <math>z = x + iy</math> однолистное и конформное преобразование <math>w = \sin z</math> отображает полуполосу <math>-\frac\pi2 < x < \frac\pi2,\, y > 0</math> на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно<ref name=Шабат73—74/>:
- вертикальные лучи <math>\{x = x_0,\,0 < y < \infty\}</math> отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами <math>\pm1</math>;
- горизонтальные отрезки <math>\{-\frac\pi2 < x < \frac\pi2,\, y = y_0\}</math> отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами <math>\pm1</math>.
- Преобразование полуполосы в полуплоскость
-
Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией <math>w = \sin z</math>
Пересечение выпуклых фигур
Пересечение фигур <math>M_1,\, M_2,\, \dots,\, M_k</math> — фигура, которая состоит из всех тех точек, которые принадлежат сразу всем фигурам <math>M_1,\, M_2,\, \dots,\, M_k</math><ref name=Болтянский207/>.
Вполне возможно пересечение произвольного неограниченного количества фигур<ref name=Болтянский208/>.
Теорема 1. Пересечение произвольного количества выпуклых фигур суть снова выпуклая фигура, если оно включает хотя бы одну точку)<ref name=Болтянский208/>.
Следующую теорему можно взять за новое определение выпуклой фигуры<ref name=Болтянский209/>.
Теорема 2. Плоская фигуры выпукла тогда и только тогда, когда её можно представить как пересечение некоторого количества полуплоскостей<ref name=Болтянский209/>.
Замечание. Полуплоскостями, пересечение которых представляет собой заданную выпуклую фигуру <math>M</math>, могут быть все полуплоскости, которые содержат эту фигуру <math>M</math> и ограничены её опорными прямыми<ref name=Болтянский209/>.
Выпуклый многосторонник
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
Выпуклый многосторонник — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей<ref name=Болтянский209/>.
Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость<ref name=Болтянский209/>.
Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при <math>n \geqslant 3</math> выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника<ref name=Болтянский209/>.
Источники
<references> Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn </references> Шаблон:Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:МЭС
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга