Несчётное множество
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.
Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества <math>X</math>:
- не существует инъективного отображения <math>X</math> во множество натуральных чисел <math>\N</math>;
- <math>X</math> не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов <math>X</math> существует по крайней мере один элемент <math>X</math>, не входящий в неё;
- иными словами: <math>X</math> непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел <math>\N</math> на <math>X</math>;
- мощность <math>X</math> не является ни конечной, ни равной <math>\aleph_0</math>.
Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:
- мощность <math>X</math> строго превышает <math>\aleph_0</math>
— требует привлечения аксиомы выбора.
Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.