Квадрика
Ква́дрика, или квадри́ка, — n-мерная гиперповерхность в n + 1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты Шаблон:Nowrap} Шаблон:S, общее уравнение квадрики имеет вид<ref>Шаблон:Cite web</ref>
- <math>
\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i x_i + R = 0. </math>
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
- <math>
x Q x^T + P x^T + R = 0</math>
где x = Шаблон:Nowrap} — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Квадрики в евклидовом пространстве
Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.<ref>Шаблон:Cite web</ref> Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица <math>\begin{pmatrix} Q & \dfrac{P^T}{2} \\ \dfrac{P}{2} & R \end{pmatrix}</math> является невырожденной<ref>Шаблон:Книга</ref>). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.<ref name="ela">Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.</ref>
| Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве | ||
|---|---|---|
| Эллипсоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1</math> | Файл:Ellipsoid Quadric.png |
| Эллиптический параболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0</math> | Файл:Paraboloid Quadric.Png |
| Гиперболический параболоид | <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0</math> | Файл:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png |
| Однополостный гиперболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1</math> | Файл:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png |
| Двуполостный гиперболоид | <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1</math> | Файл:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png |
Аффинное и проективное пространство
Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.<ref>П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.</ref> Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид <math>x^2+y^2+z^2=1</math> невозможно перевести движением в эллипсоид <math>2x^2+2y^2+2z^2=1</math>).
От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты <math>(x_1,x_2,\ldots x_{n+1}),</math> тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на <math>x_0,</math> а свободный член на <math>x_0^2.</math> Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
- <math>Q(x)=\sum_{ij} a_{ij}x_ix_j=0.</math>
Без ограничения общности можно считать, что матрица <math>Q</math> симметрична, то есть <math>a_{ij}=a_{ji}.</math> Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.
В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду
- <math>Q(x) = \pm x_0^2 \pm x_1^2 \pm\cdots\pm x_{n+1}^2</math>
Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:
- <math>Q(x) = \begin{cases}
x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2 \end{cases} </math>
Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.
Произношение термина
- В словарях приводятся различные ударения: квадри́ка<ref>Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988, стр. 265.</ref><ref>О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285</ref> («русское» произношение) и ква́дрика<ref>Lohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155</ref><ref>Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.114</ref> («иностранное» произношение).
- В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика<ref>«поверхности степени 2 называются ква́дриками» 21 min 55 sec - 22 min 05 sec Шаблон:Wayback (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)</ref><ref>«ква́дрика в проективном пространстве», 1 min - 1 min 05 sec Шаблон:Wayback (Научно-образовательный центр МИАН. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)</ref><ref>«пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», 6 min 36 sec - 6 min 56 sec Шаблон:Wayback (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения МИАН, 23 сентября 2010 г.)</ref>. Не известно примеров другого произношения.
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.