Изотопия

Изотопия — это гомотопия <math> f_t : X\to Y, t\in[0,1]</math>, для которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является гомеоморфизмом <math>X</math> на <math>f(X)\subset Y</math>.

Определение

Изотопия многообразия <math>M</math> — гладкое отображение <math>f:[0,1]\times M\to M</math> такое, что каждое <math>f_{t}:M\to M</math> является диффеоморфизмом, где <math>f_{t}(x)=f(t,x)</math> и <math>f_{t}</math> не зависит от <math>t</math> в некоторых окрестностях 0 и 1 (<math>f_{t}</math> — тождественное отображение).

Изотопия <math>f</math> называется эквивариантной, если оно коммутирует с действием группы. Точнее если <math>f^{G}=M,</math> где <math>f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And\,g\in G\}.</math> Предполагается, что группа <math>G</math> гладко действует на <math>M</math>.

Множество <math>f^{G}</math> является замкнутым инвариантным подпространством многообразия <math>M</math> (подпространством эквивариантности изотопии <math>f</math>).

Связанные определения

• Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии <math>f_t:X\to Y</math> называется изотопия пространства <math>F_t:Y\to Y</math> такая, что <math>F_t|_X\equiv f_t</math>
• Два вложения <math>f_0,f_1:X\to Y</math> называются изотопными если существует накрывающая изотопия <math>F_t: Y\to Y</math>, для которой <math>F_0=id, F_1(f_0(X))=f_1(X)</math>.
• Пространства <math>X</math> и <math>Y</math> называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения <math>f:X\to Y,\ g:Y\to X</math> такие, что композиции <math>g\circ f : X\to X</math> и <math>f\circ g : Y\to Y</math> изотопны тождественным отображениям.
  • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например <math>n</math>-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
  • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

Свойства

• Изотопия является отношением эквивалентности.
• Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
• Существуют диффеоморфизмы сферы <math>S^n</math> на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности <math>n+1</math>.