Тетраэдр

Файл:Tetrahedron.gif

Тетраэдр

Тетра́эдр (Шаблон:Lang-grc «четырёхгранник»<ref>Шаблон:Cite web</ref> ← Шаблон:Lang-grc2 «четыре» + Шаблон:Lang-grc2 «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника<ref>Шаблон:ВТ-ЭСБЕ</ref>.

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства

• Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части<ref>Шаблон:Книга</ref>Шаблон:Rp.

• Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
  • Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

• Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
  • Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

• Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
  • Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.

• Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом <math>RM=MH=3\cdot MF</math>.

• Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

• Пусть точка G₁ делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G₁ на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W₁. Точки G₁ и W₁ лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

• Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Файл:Medial Triangle.svg

Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
• Трёхгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.
• Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

• Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
• Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
• Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
• Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
• Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
• Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
• У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
• У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда. Шаблон:Якорь

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий<ref>В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.</ref>:

• существует сфера, касающаяся всех рёбер,
• суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

• Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его рёбрам (рёбрам, не имеющим общих вершин).
• Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
• Грани описанного параллелепипеда равновелики.
• Выполняются соотношения: <math> 4a^2{a_1}^2- (b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2)^2=4b^2{b_1}^2- (c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2)^2=4c^2{c_1}^2- (a^2+{a_1}^2-b^2-(b_1)^2)^2</math>, где <math>a</math> и <math>a_1</math>, <math>b</math> и <math>b_1</math>, <math>c</math> и <math>c_1</math> — длины противоположных рёбер.
• Для каждой пары противоположных рёбер тетраэдра плоскости, проведённые через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
• В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

• Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
• Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
• Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
• Произведения длин противоположных рёбер равны.
• Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

• все рёбра тетраэдра равны между собой,
• все грани тетраэдра равны между собой,
• периметры и площади всех граней равны между собой.
• Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
• Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
• Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
• Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
• Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
• Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках <math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math> <math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math> <math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4),</math> равен

<math>V = \frac16

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} = \frac16 \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end{vmatrix},</math> или

<math>V = \frac{1}{3}\ S H,</math>

где <math>S</math> — площадь любой грани, а <math>H</math> — высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

<math>288 \cdot V^2 =

\begin{vmatrix}

 0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
 1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
 1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0

\end{vmatrix}.</math>

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол <math> \phi </math>, находится по формуле:

<math> V = \frac{1}{6} ab h \sin \phi.</math>

• Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы <math> \alpha, \beta, \gamma </math>, находится по формуле<ref>Шаблон:Книга</ref>

<math> V = \frac{1}{6}\ abc \sqrt {D} ,</math>

где <math display="block"> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  & \cos \beta \\
 \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\
 \cos \beta & \cos \alpha & 1         
\end{vmatrix}.</math>

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол <math> \gamma </math>:

<math> S = \frac{1}{2}\ ab \sqrt {D} ,</math>

где <math> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  \\
 \cos \gamma & 1 \\
\end{vmatrix}.</math>

Замечание

Есть аналог формулы Герона для объёма тетраэдра <ref> Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

<math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math><math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math><math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)</math> — координаты вершин тетраэдра.

• Объём тетраэдра (с учётом знака):

<math>V = \frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} </math>.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): <math>\mathbf{r}_T (x_T,y_T,z_T)</math>

<math>x_T=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4};</math><math>y_T=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4};</math><math>z_T=\frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}.</math>

• Координаты центра вписанной сферы: <math>\mathbf{r}_r (x_r,y_r,z_r)</math>

<math>x_r=\frac{S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 };</math><math>y_r=\frac{S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 };</math><math>z_r=\frac{S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 },</math>

где <math>S_1 </math> — площадь грани, противолежащей первой вершине, <math>S_2 </math> — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

<math>(x-\frac{S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

<math>(x-\frac{-S_1 x_1+S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{-S_1 y_1+S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{-S_1 z_1+S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{-S_1 +S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

<math>(x-\frac{-S_1 x_1-S_2 x_2+S_3 x_3+S_4 x_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2+(y-\frac{-S_1 y_1-S_2 y_2+S_3 y_3+S_4 y_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2+(z-\frac{-S_1 z_1-S_2 z_2+S_3 z_3+S_4 z_4}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2=(\frac{3V}{-S_1 - S_2 +S_3 +S_4 })^2,</math>

• Уравнение описанной сферы:

<math>\begin{vmatrix} x^2+ y^2+z^2& x & y & z & 1 \\ x_1^2+ y_1^2+z_1^2& x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+ y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+ y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+ y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}=0. </math>

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Обозначения:

<math>\mathbf{J} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\alpha_1 \mathbf{J_1}+\alpha_2 \mathbf{J_2}+\alpha_3 \mathbf{J_3}+\alpha_4 \mathbf{J_4},</math> — барицентрические координаты.

• Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть <math>\mathbf{J}_1 (x_1,y_1,z_1,t_1),\mathbf{J}_2 (x_2,y_2,z_2,t_2),\mathbf{J}_3 (x_3,y_3,z_3,t_3),\mathbf{J}_4 (x_4,y_4,z_4,t_4).</math> — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

<math>V=\frac{\begin{vmatrix}

 x_1 & y_1 & z_1 & t_1 \\
 x_2 & y_2 & z_2 & t_2\\
 x_3 & y_3 & z_3 & t_3 \\
 x_4 & y_4 & z_4 & t_4 \\

\end{vmatrix} }{(x_1 + y_1 + z_1 + t_1)(x_2 + y_2 + z_2 + t_2)(x_3 + y_3 + z_3 + t_3)(x_4 + y_4 + z_4 + t_4)}V' ,</math> где <math>V'</math> — объем базисного тетраэдра.

• Координаты центра тяжести (пересечение медиан): <math>\mathbf{J}_T (1,1,1,1).</math>

• Координаты центра вписанной сферы: <math>\mathbf{J}_r (S_1,S_2,S_3,S_4).</math>

• Координаты центра описанной сферы:

<math>\mathbf{J}_R= \begin{vmatrix}

 0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\
1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\
1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\
1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\

\end{vmatrix}.</math>

• Расстояние между точками <math>\mathbf{J}_A (A_1,A_2,A_3,A_4),\mathbf{J}_B (B_1,B_2,B_3,B_4)</math>:

Пусть <math> C_1=\frac{A_1}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_1}{B_1+B_2+B_3+B_4}; C_2=\frac{A_2}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_2}{B_1+B_2+B_3+B_4} </math> и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками: <math>d^2=-(C_1 C_2 \alpha _{1,2}^2 + C_1 C_3 \alpha _{1,3}^2+C_1 C_4 \alpha _{1,4}^2+C_2 C_3 \alpha _{2,3}^2+C_2 C_4\alpha _{2,4}^2+C_3 C_4 \alpha _{3,4}^2).</math>

• Уравнение плоскости по трём точкам:

Здесь и дальше будут приведённые координаты.

<math>\begin{vmatrix}

 x & y & z & t \\
 x_1 & y_1 & z_1 & t_1\\
 x_2 & y_2 & z_2 & t_2 \\
 x_3 & y_3 & z_3 & t_3 \\

\end{vmatrix}=0.</math>

• Уравнение сферы по центру и радиусу:

<math>R^2=-((x-x_0) (y-y_0) \alpha _{1,2}^2 + (x-x_0) (z-z_0) \alpha _{1,3}^2+(x-x_0) (t-t_0) \alpha _{1,4}^2+(y-y_0) (z-z_0) \alpha _{2,3}^2+(y-y_0) (t-t_0)\alpha _{2,4}^2+(z-z_0)(t-t_0)\alpha _{3,4}^2).</math>

• Уравнение плоскости по точке и вектору нормали:

<math>(\eta_1(y-y_0)+\eta_2(x-x_0)) \alpha _{1,2}^2 + (\eta_1(z-z_0)+\eta_3(x-x_0))\alpha _{1,3}^2+(\eta_1(t-t_0)+\eta_4(x-x_0))\alpha _{1,4}^2+(\eta_2(z-z_0)+\eta_3(y-y_0))\alpha _{2,3}^2+(\eta_2(t-t_0)+\eta_4(y-y_0))\alpha _{2,4}^2+ (\eta_3(t-t_0)+\eta_4(z-z_0))\alpha _{3,4}^2=0.</math> Так как вектор это разность двух точек(начало и конца вектора), то <math>\eta_1+\eta_2+\eta_3+\eta_4=0.</math>

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

Площадь(Объём)
<math>S=\sqrt{-\frac{1}{16}\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a^2 & b^2 \\ 1 & a^2 & 0 & c^2 \\ 1 & b^2 & c^2 & 0 \\ \end{vmatrix}}</math> || <math>V=\sqrt{\frac{1}{288}\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\ 1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\ 1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\ 1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\ \end{vmatrix}}</math>, где <math>\alpha _{1,2}</math> — расстояние между вершинами 1 и 2
<math>S=\frac {1}{2} a h_{a} </math>	<math>V=\frac {1}{3} S_1 H_{1} </math>
<math>S=\frac {1}{2} ab \sin \gamma</math>	<math>V=\frac {2}{3} \frac {S_1 S_2}{\alpha _{3,4}} \sin (\phi _{1,2}) </math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2, <math> S_1</math> и <math> S_2 </math> — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
<math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>	<math>L_{1,2}=\frac{2 S_1 S_2 \cos(\frac{\phi _{1,2}}{2})}{S_1+S_2}</math>
Длина медианы
<math>m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}</math>	<math>m_1=\frac{ \sqrt{3 (\alpha _{1,2}^2+\alpha _{1,3}^2+\alpha _{1,4}^2)-(\alpha _{2,3}^2+\alpha _{2,4}^2+\alpha _{3,4}^2)}}{3}</math>
Радиус вписанной окружности(сферы)
<math>r=\frac{2S}{a+b+c}</math>	<math>r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}</math>
Радиус описанной окружности(сферы)
<math>R = \frac {abc}{4S}</math>	<math>R=\frac{S_T}{6 V}</math>, где <math>S_T</math> — площадь треугольника со сторонами <math>\alpha _{1,2} \alpha _{3,4}, \alpha _{1,3} \alpha _{2,4}, \alpha _{1,4} \alpha _{2,3}</math>
Теорема косинусов
<math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} </math>	<math>\cos (\phi _{1,2})=\frac{A_{1,2}}{16 S_1 S_2}</math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2, <math> S_1</math> и <math> S_2 </math> — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, <math>A_{1,2}</math> — алгебраическое дополнение элемента <math>\alpha _{2,1}^2</math> матрицы <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\ 1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\ 1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\ 1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\ \end{pmatrix}</math>
Теорема синусов
<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>	<math> \frac{S_1}{\Psi_1}=\frac{S_2}{\Psi _2}=\frac{S_3}{\Psi_3}=\frac{S_4}{\Psi _4}</math>, где <math> S_1, S_2, S_3, S_4</math> — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, <math>\Psi =\sqrt{ \begin{vmatrix} 1 & -\cos (A) & -\cos (B) \\ -\cos (A) & 1 & -\cos (C) \\ -\cos (B) & -\cos (C) & 1 \\ \end{vmatrix}}</math>, где <math>A, B, C</math> — двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math>	<math>\begin{vmatrix} 1 & -\cos \left(\phi _{2,1}\right) & -\cos \left(\phi _{3,1}\right) & -\cos \left(\phi _{4,1}\right) \\ -\cos \left(\phi _{2,1}\right) & 1 & -\cos \left(\phi _{3,2}\right) & -\cos \left(\phi _{4,2}\right) \\ -\cos \left(\phi _{3,1}\right) & -\cos \left(\phi _{3,2}\right) & 1 & -\cos \left(\phi _{4,3}\right) \\ -\cos \left(\phi _{4,1}\right) & -\cos \left(\phi _{4,2}\right) & -\cos \left(\phi _{4,3}\right) & 1 \\ \end{vmatrix}=0</math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
<math>R^2 - d^2 = 2Rr</math>	<math> R^2 - d^2 = \frac{S_1 S_2 \alpha _{1,2}^2+S_1 S_3 \alpha _{1,3}^2+S_1 S_4 \alpha _{1,4}^2+S_2 S_3 \alpha _{2,3}^2+S_2 S_4 \alpha _{2,4}^2+S_3 S_4 \alpha _{3,4}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4)^2}</math>, где <math> S_1, S_2, S_3, S_4</math> — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4. Другая запись выражения: <math>R^2 - d^2 = 2rT,</math> где <math>T</math> — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

Объём неевклидовых тетраэдров

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных<ref>Шаблон:Cite web</ref> для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками<ref>Шаблон:Cite web</ref> для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

Соотношение между двугранными углами тетраэдра

<math>\operatorname{det}\Psi > 0</math> — для сферического тетраэдра.

<math>\operatorname{det}\Psi < 0</math> — для гиперболического тетраэдра.

Где <math>\Psi = \begin{pmatrix}

 1 & -\cos (A_{2,1}) & -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{4,1}) \\
 -\cos (A_{2,1}) & 1 & -\cos (A_{3,2}) & -\cos (A_{4,2}) \\
 -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{3,2}) & 1 & -\cos (A_{4,3}) \\
 -\cos (A_{4,1}) & -\cos (A_{4,2}) & -\cos (A_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

<math>A_{i,j}</math> — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

Теорема косинусов

<math>\cos (A_{i,j})=-\frac{\Phi_{i,j}}{ \sqrt{\Phi_{i,i}\Phi_{j,j}} }</math> — для сферического и гиперболического тетраэдра.

<math>\cos (\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} }</math> — для сферического тетраэдра.

<math>\operatorname{ch}(\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} }</math> — для гиперболического тетраэдра.

Где <math>\Phi = \begin{pmatrix}

 1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) \\
 \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) \\
 \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) \\
 \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

<math>\Phi = \begin{pmatrix}

 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

<math>\alpha_{i,j}</math> — приведенное расстояние между i и j вершин.

<math>\Psi_{i,j}</math> — алгебраическое дополнение матрицы <math>\Psi</math>.

Теорема синусов

<math>\frac{\Phi_{1,1}}{\Psi_{1,1}}=\frac{\Phi_{2,2}}{\Psi_{2,2}}=\frac{\Phi_{3,3}}{\Psi_{3,3}}=\frac{\Phi_{4,4}}{\Psi_{4,4}}</math> — для сферического и гиперболического тетраэдра.

Радиус описанной сферы

<math> \begin{vmatrix}

 1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) &1 \\
 \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) &1 \\
 \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) &1 \\
 \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 &1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\cos^2 (R)} \\

\end{vmatrix}=0</math> — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: <math> \frac{1}{\cos (R)}=\frac{ |\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{n_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{n_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{n_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{n_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>, где <math> \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4}</math> нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: <math> \frac{1}{\cos (R)}=\frac{ |\begin{vmatrix}

 0 & \overrightarrow{i_1} & \overrightarrow{i_2} & \overrightarrow{i_3} &\overrightarrow{i_4} \\
 1 & X_1 & Y_1 & Z_1 &T_1 \\
 1 & X_2 & Y_2 & Z_2 &T_2 \\
 1 & X_3 & Y_3 & Z_3 &T_3 \\
1 & X_4 & Y_4 & Z_4 & T_4 \\

\end{vmatrix}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>.

<math> \begin{vmatrix}

 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 &1\\

1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\operatorname{ch}^2 (R)} \\ \end{vmatrix}=0</math> — для гиперболического тетраэдра.

Радиус вписанной сферы

<math> \frac{1}{\sin^2 (r)}=\frac1{\operatorname{det}\Phi}(\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+{}</math>

<math>{}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\cos (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{1,4})+{}</math>

<math>{}+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{3,4}))</math> —

для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения:

<math> \frac{1}{\sin (r)}=\frac{

|\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{r_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{r_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{r_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{r_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>, где <math> \overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3},\overrightarrow{r_4}</math> единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

<math> \frac1{\operatorname{sh}^2 (r)}=-\frac1{\operatorname{det}\Phi}(\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+{}</math>

<math>{}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,4})+{}</math>

<math>{}+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{3,4}))</math> —

для гиперболического тетраэдра.

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер

<math> \frac{\cos (d)} {\sin (r) \cos (R)}=\frac{\sqrt{\Phi_{1,1}}+\sqrt{\Phi_{2,2}}+\sqrt{\Phi_{3,3}}+\sqrt{\Phi_{4,4}}}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math> — для сферического тетраэдра.

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

• Координаты центра вписанной сферы:

<math>\mathbf{J}_r(\sqrt{\Phi_{1,1}},\sqrt{\Phi_{2,2}},\sqrt{\Phi_{3,3}},\sqrt{\Phi_{4,4}}).</math> — для сферического тетраэдра.

• Координаты центра описанной сферы:

<math>\mathbf{J}_R= \begin{vmatrix}

 0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
 1 & 1 & \cos (\alpha_{1,2}) & \cos (\alpha_{1,3}) & \cos (\alpha_{1,4}) \\
1 & \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{2,3}) & \cos (\alpha_{2,4}) \\
1 & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{3,4}) \\
1 &\cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{vmatrix}.</math> — для сферического тетраэдра.

Тетраэдры в микромире

• Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника.
• Молекула метана СН₄.
• Ион аммония NH₄⁺.
• Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^- и многие другие ионы.
• Алмаз C — тетраэдр с ребром, равным 2,5220 ангстрем.
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром, равным 3,8626 ангстрем.
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром, равным 3,823 ангстрем.
• Оксид цинка, ZnO.
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-.

Тетраэдры в живой природе

Файл:TetrNuts.jpg

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Четыре острия семени якорца стелющегося находятся в вершинах тетраэдра таким образом что лежащее на земле семя всегда имеет одно острие направленное вверх.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр<ref>http://knol.google.com/k/триггер#view Шаблон:Wayback Триггер</ref>.

Тетраэдры в философии

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры»<ref>Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107</ref>.

См. также

• Симплекс — n-мерный тетраэдр
• Тетраэдр Мейсснера
• Тетраэдр Рёло
• Треугольник

Литература

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.

Шаблон:Многогранники