Биссектриса

Файл:Triangle ABC with bisector AD.jpg

Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — внутренний луч этого угла, делящий его на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон<ref>Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия</ref>.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Связанные определения

• Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.

Файл:Incircle and Excircles.svg

Центры трех вневписанных окружностей (соответственно <math>J_A, J_B, J_C</math>) образуют — треугольник трёх внешних биссектрис

• В любом треугольнике <math>ABC</math>, кроме внутренних биссектрис (далее называемых просто биссектрисами), можно провести и внешние биссектрисы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
• Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно <math>J_A, J_B, J_C</math>) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами <math>J_A, J_B, J_C</math>, которые касаются соответственно сторон <math>a, b, c</math> исходного треугольника.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника <math>\Delta J_AJ_BJ_C</math>
• Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей <math>J_A, J_B, J_C</math> , является центром эллипса Мандарта. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-м году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel)<ref>Шаблон:Citation.</ref><ref>Шаблон:Citation.</ref>.

Свойства

Файл:Bisection construction.gif

Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами

• Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
• Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
• Углы, образованные между биссектрисой треугольника и его стороной, к которой проведена данная биссектриса, равны

<math>\arccot\frac{(a-b)(p-c)p}{(a+b)S},\arccot\frac{(b-a)(p-c)p}{(a+b)S}</math>,

где <math>S</math> — площадь треугольника, <math>a</math> и <math>b</math> — его стороны с общей вершиной в той точке, из которой проведена данная биссектриса в треугольнике, <math>c</math> — третья сторона, <math>p</math> — полупериметр данного треугольника.

• Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между высотой и радиусом описанной окружности, проведённому из вершины того же угла.

Свойства, связанные с дугами

• Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
• То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис

Файл:Triangle ABC with bisector AD.svg

<math>\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}</math> или <math>\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}</math>.

• Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть <math>\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}</math> или <math>\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}</math>. Теорема о биссектрисе  — частный случай теоремы Штейнера.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
• Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
• Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
• В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах<ref>Шаблон:Книга:Акопян-Заславский</ref>.

Свойства осей биссектрис

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
• Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

Свойство проекции одной вершины на биссектрисы двух других вершин

• Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)<ref>Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8</ref>. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.

Другие свойства

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно<ref>Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.</ref>, причём даже при наличии трисектора<ref>Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.</ref>.
• Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника<ref>Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100</ref>.
• Три продолжения трёх биссектрис исходного треугольника, через три их основания до их пересечения в трёх вершинах его треугольника трёх внешних биссектрис оказываются в последнем треугольнике в качестве трёх высот.
• Строфоида — геометрическое место точек <math>M</math> на плоскости, таких что прямая <math>MB</math> является биссектрисой (внешней или внутренней) угла <math>AMC</math> при данной тройке точек <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.

Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам треугольника

Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно пересекающихся в одной точке

• Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
• Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке<ref>Решения заданий первого этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников 2015—2016 г. по математике. Задача 10.3, С. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf Шаблон:Wayback</ref>.

Тройки отрезков, параллельных трем биссектрисам и одновременно образующих 2 треугольника

• Во вся­кий треугольник ABC мож­но впи­сать 2 треугольника, 3 сто­ро­ны ко­то­рых па­рал­лель­ны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники име­ют об­щую окруж­ность типа окружности Эйле­ра, то есть 6 их вершин лежат на 1 окруж­ности<ref>Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Шаблон:Wayback. — Одесса, 1902. — С. 26. Глава I. Упражнения. п.33</ref>.

Длина биссектрис в треугольнике

Удобно биссектрисы треугольника обозначать следующим образом. Если <math>ABC</math> ― треугольник, и <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math> ― стороны (длины сторон), то <math>l_a</math>, <math>l_b</math>, <math>l_c</math> ― биссектрисы, проведённые соответственно из вершин <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> к сторонам <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>.

Файл:Triangle+bisection.svg

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

<math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\dfrac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b}</math>, где <math>p</math> — полупериметр.

<math>l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}</math> (формула ЛагранжаШаблон:Нет АИ)

<math>l_c=\frac{2a_lb_l\cos(\frac{\gamma}{2})}{\sqrt{a_l^2+b_l^2-2a_lb_l\cos(\gamma)}}</math>

<math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>

<math>l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}</math>

Для трёх биссектрис углов <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> с длинами соответственно <math>l_a, l_b,</math> и <math>l_c</math>, справедлива формула<ref>Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.</ref>

<math>\dfrac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \dfrac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\dfrac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2</math>,

<math>w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab</math>,

• Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>,

где:

• <math>a, b, c</math> — стороны треугольника против вершин <math>A, B, C</math> соответственно,
• <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — внутренние углы треугольника при вершинах <math>A, B, C</math> соответственно,
• <math>h_c</math> — высота треугольника, опущенная на сторону <math>c</math>.
• <math>l_c</math> — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне <math>c</math>,
• <math>a_l, b_l</math> — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса <math>l_c</math> делит сторону <math>c</math>,
• <math>w_c</math> — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины <math>C</math> к продолжению стороны <math>AB</math>.
• <math>a_w, b_w</math> — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса <math>w_c</math> делит сторону <math>c=AB</math> и её продолжение до основания самой биссектрисы.
• Если медиана <math>m</math>, высота <math>h</math> и внутренняя биссектриса <math>t</math> выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса <math>R</math>, тогда<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.</ref>Шаблон:Rp

<math>4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).</math>

Длина частей биссектрис в треугольнике

• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно <math>l_{c0}=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}= \sqrt{(p-c)^2 + r^2}= \sqrt{ab - 4Rr}</math>, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
• Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
• Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
• Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла <math>A</math> в отношении <math>\frac{b+c}{a}</math>, где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника.

Уравнения биссектрис

• Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями <math>y_1=a_1x+b_1</math> и <math>y_2=a_2x+b_2</math>, то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций<ref>Шаблон:Cite web</ref>:

<math>y=\frac{a_1\sqrt{a_2^2+1}\pm a_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}\, x + \frac{b_1\sqrt{a_2^2+1}\pm b_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}</math>

См. также

• Антибиссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Теорема о биссектрисе
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Центроид
• Чевиана

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин