Ромб

{{#if: | }}

Файл:Rhombus.svg

Ромб (Шаблон:Lang-grc, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равныШаблон:Sfn (см. другие варианты определенияШаблон:Переход).

Термин «ромб» происходит от Шаблон:Lang-grc — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD Шаблон:Итд).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• Диагонали <math>p</math> и <math>q</math> ромба выражаются через сторону ромба <math>a</math> и угол <math>\alpha</math> между двумя смежными сторонами ромба как

<math>p=(\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}) a=2a\sin\frac{\alpha}{2}</math>;

<math>q=(\sqrt{1+\sin\alpha}+\sqrt{1-\sin\alpha}) a=2a\cos\frac{\alpha}{2}</math>.

Признаки

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник<ref>Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).</ref>, все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом<ref>Погорелов А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. Шаблон:Wayback М.: Просвещение, 2001, С. 18.</ref><ref name=EM435/>.

Параллелограмм <math>ABCD</math> является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условийШаблон:Sfn:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии<ref>Шаблон:Публикация</ref>.

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Квадрат как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов<ref>Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.</ref><ref>Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.</ref>.

Уравнение ромба

Файл:RombusEquation.svg

К уравнению ромба (центр в начале координат)

Уравнение ромба с центром в точке <math>\{x_0,y_0\}</math> и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде<ref name=Superellipse>Шаблон:Mathworld Здесь ромб назван diamond.</ref>:

<math>\frac{|x-x_0|}{a} + \frac{|y-y_0|}{b} = 1,</math>

где <math>a, b</math> — половины длин диагоналей ромба по осям <math>X, Y</math> соответственно.

Длина стороны ромба равна <math>\sqrt{a^2 + b^2}.</math> Площадь ромба равна <math>2ab.</math> Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

<math>2\operatorname{arctg}\frac{b}{a}</math>

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

<math>|x-x_0| + |y-y_0| = a,</math>

где сторона квадрата равна <math>a\sqrt{2},</math> а его диагональ равна <math>2a.</math> Соответственно площадь квадрата равна <math>2a^2.</math>

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать<ref name=Superellipse/> как суперэллипс степени 1.

Площадь ромба

Файл:Rhombus1.svg

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

<math>S=\dfrac{AC \cdot BD}{2}</math>

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

<math>S=a \cdot h</math>

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

<math>S=a^2 \cdot \sin \alpha</math>,

где <math>\alpha</math> — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол <math>\alpha</math>:

<math>S=\dfrac{4r^2}{\sin \alpha};</math>

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

<math>S=2 a r.</math>

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности Шаблон:Math может быть выражен через диагонали Шаблон:Math и Шаблон:Math в виде<ref name=Mathworld>Шаблон:Mathworld</ref>:

<math>r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}}.</math>

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

• Червлёный ромб в серебряном поле
  Червлёный ромб в серебряном поле
• В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
• Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
• В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов
  В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• Ромбический орнамент
  Ромбический орнамент
• Ромбические звёзды
  Ромбические звёзды
• Более сложный орнамент
  Более сложный орнамент
• Мозаика Пенроуза
  Мозаика Пенроуза

См. другие примеры на Викискладе.

См. также

• Дельтоид
• Звезда (геометрия)
• Ромбододекаэдр
• Ромбоид
• Ромб (символ)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга