Прямоугольник: различия между версиями
imported>JMD49 |
imported>Well, Well, Bot! м уборка лишних параметров шаблона {{переход}} |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{ | [[Файл:Rectangle 4x5.svg|right|мини|200 px|Прямоугольник 5 на 4]] | ||
{{Викисловарь|прямоугольник}} | |||
'''Прямоугольник''' — [[четырёхугольник]], у которого все углы прямые (равны 90°){{sfn|Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. | |||
Слово «прямоугольник» является переводом {{lang-la|rectangulus}}, которое, в свою очередь, представляет собой комбинацию {{lang-la|«rectus»}} (прямой, правильный) и {{Lang-la|«angulus»}} (угол)<ref>[https://latin.slovaronline.com/6361-RECTUS Латинско-русский словарь]</ref>. | |||
{{ | |||
| | |||
}} | |||
В [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]] для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу [[Теорема о сумме углов многоугольника|теоремы о сумме углов многоугольника]] также будет равен 90°. | |||
=== | В геометрии доказывается, что две прямые, [[Перпендикулярность|перпендикулярные]] одной и той же третьей прямой, параллельны между собой<ref>{{книга|автор=[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]] и др. |заглавие=Геометрия. 6-8 классы |издание=3-е изд |место=М.|издательство=[[Просвещение (издательство)|Просвещение]] |год=1981|страниц=384|страницы=120}}</ref>. Применив эту теорему к противоположным сторонам прямоугольника, перпендикулярным смежным с ними сторонам, получаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому каждый прямоугольник является [[параллелограмм]]ом. | ||
В [[Неевклидова геометрия|неевклидовой геометрии]], где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщения{{переход|Неевклидова геометрия}}. | |||
{{ | |||
==== | == Свойства == | ||
[[Файл:Rectangle with two diagonals.png|мини|Диагонали прямоугольника]] | |||
{{основной источник|<ref name=VYG/>}} | |||
* Противоположные стороны прямоугольника равны. | |||
* Стороны прямоугольника являются его высотами. Середины сторон прямоугольника образуют [[ромб]]. | |||
* У прямоугольника есть две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины противоположных сторон. | |||
* [[Диагональ|Диагонали]] прямоугольника равны. | |||
* Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. | |||
* Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по [[Теорема Пифагора|теореме Пифагора]]). | |||
* Около любого прямоугольника можно описать [[окружность]], причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали). | |||
==== | == Площадь == | ||
[[Файл:Illustration for the area of a rectangle.svg|мини|Площадь прямоугольника]] | |||
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон. | |||
* [[Площадь]] прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. | |||
* [[Периметр]] прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины. | |||
==== | == Место в планиметрии == | ||
Прямоугольник можно рассматривать: | |||
* как [[параллелограмм]], у которого один из углов прямой (тогда, по свойствам параллелограмма, и смежные с ним углы будут прямыми); | |||
* как [[Трапеция|трапецию]], у которой углы при основании прямые. | |||
[[Параллелограмм]] является прямоугольником, если выполняется любое из условий: | |||
* Если параллелограмм имеет (по меньшей мере один) прямой угол | |||
* Если в параллелограмме ABCD треугольники ABD и DCA являются [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтными]]. | |||
* Если диагонали параллелограмма равны. | |||
* Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон. | |||
* Если все углы параллелограмма равны. | |||
* Если параллелограмм имеет (хотя бы одну) [[Осевая симметрия|ось симметрии]], перпендикулярную его стороне. | |||
Важным частным случаем прямоугольника является [[Квадрат (геометрия)|квадрат]], отличающийся тем, что у него равны не только углы, но и все стороны. Каждый квадрат- прямоугольник, но не каждый прямоугольник- квадрат. | |||
==== | == В искусстве == | ||
{{main|Мозаика из прямоугольников}} | |||
Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в [[орнамент]]ах, [[мозаика]]х и [[паркет]]ах. | |||
== | == Неевклидова геометрия == | ||
[[File:Saddle rectangle example.png|thumb|Седловидный прямоугольник имеет 4 непланарных вершины В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, каждая из которых является диагональю прямоугольных граней.]] | |||
В [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] сферический прямоугольник представляет собой фигуру, чьи четыре ребра большой окружности дуги, которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии. | |||
В [[Геометрия Римана|эллиптической геометрии]] эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше (90°). Противоположные дуги равны по длине. | |||
В [[Геометрия Лобачевского|гиперболической геометрии]] гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами (менее 90°). Противоположные дуги равны по длине. | |||
== | == Примечания == | ||
{{примечания}} | |||
== | == Литература == | ||
{{ | * {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006 | ||
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике | |||
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}} | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
}} | |||
{{Многоугольники}} | |||
{{ | |||
[[Категория:Четырёхугольники]] | |||
Текущая версия от 10:49, 25 марта 2026
Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: прямоугольник || {{#ifeq: Прямоугольник | прямоугольник | | }} }} Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°)Шаблон:Sfn.
Слово «прямоугольник» является переводом лат. rectangulus, которое, в свою очередь, представляет собой комбинацию лат. «rectus» (прямой, правильный) и лат. «angulus» (угол)<ref>Латинско-русский словарь</ref>.
В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°.
В геометрии доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой<ref>Шаблон:Книга</ref>. Применив эту теорему к противоположным сторонам прямоугольника, перпендикулярным смежным с ними сторонам, получаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому каждый прямоугольник является параллелограммом.
В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщенияШаблон:Переход.
Свойства
- Противоположные стороны прямоугольника равны.
- Стороны прямоугольника являются его высотами. Середины сторон прямоугольника образуют ромб.
- У прямоугольника есть две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
- Диагонали прямоугольника равны.
- Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
- Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).
Площадь
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.
- Площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину.
- Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.
Место в планиметрии
Прямоугольник можно рассматривать:
- как параллелограмм, у которого один из углов прямой (тогда, по свойствам параллелограмма, и смежные с ним углы будут прямыми);
- как трапецию, у которой углы при основании прямые.
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
- Если параллелограмм имеет (по меньшей мере один) прямой угол
- Если в параллелограмме ABCD треугольники ABD и DCA являются конгруэнтными.
- Если диагонали параллелограмма равны.
- Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
- Если все углы параллелограмма равны.
- Если параллелограмм имеет (хотя бы одну) ось симметрии, перпендикулярную его стороне.
Важным частным случаем прямоугольника является квадрат, отличающийся тем, что у него равны не только углы, но и все стороны. Каждый квадрат- прямоугольник, но не каждый прямоугольник- квадрат.
В искусстве
Шаблон:Main Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в орнаментах, мозаиках и паркетах.
Неевклидова геометрия
В сферической геометрии сферический прямоугольник представляет собой фигуру, чьи четыре ребра большой окружности дуги, которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.
В эллиптической геометрии эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше (90°). Противоположные дуги равны по длине.
В гиперболической геометрии гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами (менее 90°). Противоположные дуги равны по длине.