Просмотр кода страницы E (число)

{{другие значения|E (значения)}}
{{не путать|Числа Эйлера I рода|числами Эйлера I рода}}
{{не путать|Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянной Эйлера}}
{{заголовок|со строчной буквы|курсивом}}
{{иррациональное число
|nav=1
|число=<math>e</math>
|оценки-1=2,7182818284590452353602874713527…
|оценки-2=10,101101111110000101010001011001…
|оценки-3=2,B7E151628AED2A6A…
|оценки-4=2; 43 05 48 52 29 48 35 …
|оценки-5={{frac|8|3}}; {{frac|11|4}}; {{frac|19|7}}; {{frac|87|32}}; {{frac|106|39}}; {{frac|193|71}}; {{frac|1264|465}}; {{frac|2721|1001}}; {{frac|23225|8544}}
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|оценки-6={{nowrap|[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]}}
<small>(Эта непрерывная дробь не [[Периодическая функция|периодическая]]. Записана в линейной нотации)</small>
}}
[[Файл:Hyperbola E.svg|thumb|Площадь области под графиком <math>y=\frac{1}{x}</math> на отрезке <math>1 \leq x \leq e</math> равна 1]]
[[Файл:Exp derivative at 0.svg|thumb|<math>e</math> — это такое число, для которого производная (тангенс угла наклона касательной) показательной функции ''f'' (''x'') = ''e<sup>x</sup>'' (синяя кривая) в точке ''x'' = 0 равна 1 (касательная — красная линия). Для сравнения показаны функции ''f'' (''x'') = 2<sup>''x''</sup> (пунктирная кривая) и ''f'' (''x'') = 4<sup>''x''</sup> (штриховая кривая); производные которых не равны 1 при ''x'' = 0.]]

'''<math>e</math>''' — основание [[Натуральный логарифм|натурального логарифма]], [[математическая константа]], [[Иррациональное число|иррациональное]] и [[Трансцендентное число|трансцендентное]] число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число <math>e</math> называют ''[[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера|числом Эйлера]]'' или ''числом [[Непер, Джон|Непера]]''. Обозначается строчной латинской буквой «[[E (латиница)|e]]».

[[Файл:Xth root of x.svg|thumb|250px|Максимум функции <big><math display="inline">x^{\frac{1}{x}}</math></big> достигается при <math> x=e </math>.]]

Число <math>e</math> играет важную роль в [[дифференциальное исчисление|дифференциальном]] и [[интегральное исчисление|интегральном исчислении]], а также во многих других разделах [[математика|математики]].

Поскольку функция [[экспонента|экспоненты]] <math>e^x</math> интегрируется и дифференцируется «сама в себя», [[логарифм]]ы именно по основанию <math>e</math> принимаются как [[натуральный логарифм|натуральные]].

== Способы определения ==
Число <math>e</math> может быть определено несколькими способами.
* Через предел: {{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> (второй [[Замечательные пределы|замечательный предел]]).
|2=<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> (это следует из [[формула Муавра — Стирлинга|формулы Муавра — Стирлинга]]).
}}
}}
* Как [[сумма ряда]]: {{bi|1=<math>e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}</math> или <math>{\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}</math>.}}
* Как единственное число <math>a</math>, для которого выполняется {{bi|1=<math>\int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1.</math>}}
* Как единственное положительное число <math>a</math>, для которого верно {{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>\frac d {dx} a^x = a^x.</math>
|2=<math>\int a^x\,dx = a^x + C .</math>
}}
}}
* Как точка пересечения ветвей графика функции <math>x^y=y^x</math>: [[Файл:Plot of x^y = y^x.svg|center|frame|График функции <math>x^y=y^x</math>]]

== Свойства ==
{{нет ссылок в разделе|дата=2022-10-09}}
* Производная [[Экспонента|экспоненты]] равна самой экспоненте:<math> \frac{de^x }{dx} = e^x.</math><br>Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, [[Общее решение дифференциального уравнения|общим решением]] дифференциального уравнения <math>\frac{df(x)}{dx} = f(x)</math> являются функции <math>f(x) = c e^x</math>, где <math>c</math> — произвольная константа.
* Число <math>e</math> [[трансцендентное число|трансцендентно]]. Впервые это было доказано в [[1873 год]]у [[Эрмит, Шарль|Шарлем Эрмитом]]<ref>{{книга|автор=|заглавие=[[Математическая энциклопедия]]|место=Москва|издательство=Советская энциклопедия|год=1985|том=5|страницы=426}}</ref>. Трансцендентность числа <math>e</math> следует из [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теоремы Линдемана]].
* Предполагается, что <math>e</math> — [[нормальное число]], то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
* Число <math>e</math> является [[Вычислимое число|вычислимым]] (а значит, и [[Арифметическое число|арифметическим]]) числом.
* <math>e^{ix} = \cos(x) + i\cdot\sin(x)</math>, см. [[формула Эйлера]], в частности {{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>e^{i\pi} + 1 = 0.</math>
|2=<math> e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1) </math>
}}
}}
* Формула, связывающая числа <math>e</math> и <math>\pi</math>, т. н. интеграл [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассона]] или [[Гауссов интеграл|интеграл Гаусса]] {{bi|1=<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>}}
* Для любого [[Комплексное число|комплексного числа]] ''z'' верны следующие равенства: {{bi|1=<math>e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.</math>}}
* Другие связи между [[Математическая константа|константами]]: {{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>
|2=<math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
}}
}}
* Формула, найденная [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Сринивасой Рамануджаном]]: {{bi|1=<math>1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots +
\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}</math>}}
* Число <math>e</math> разлагается в бесконечную [[Цепная дробь|цепную дробь]] следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в<ref>{{Cite web|url=https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf|title=A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e|author=William Adkins|website=arXiv|date=2006-02-25|publisher=arXiv|access-date=2017-03-01|archive-date=2017-03-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20170302030235/https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf|url-status=live}}</ref>): {{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots]</math>, то есть
|2=<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} </math>}}}} или в эквивалентной записи: {{bi|1=<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} </math>}}
* Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение: {{bi|1=<math>\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}</math>}}
* <math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
* Представление [[Каталан, Евгений-Шарль|Каталана]]: {{bi|1=<math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots</math>}}
* {{якорь|связь с пи}} Представление через [[бесконечное произведение]]: {{bi|1=<math> e=\prod_{n=2}^\infty \left(\frac{n}{n-1}\right)\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n-1}</math>}}
* Представление через [[числа Белла]]: {{bi|1=<math>e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>}}
* [[Мера иррациональности]] числа <math>e</math> равна <math>2</math> (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел)<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref>.
* Число <math>e</math> [[иррациональное число|иррационально]]. Доказательство иррациональности является элементарным.
===Доказательство иррациональности===
Предположим, что <math>e</math> рационально. Тогда <math>e=p/q</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>q</math> — натуральное.
Следовательно
{{bi|1=<math>p=eq</math>}}
Умножая обе части уравнения на <math>(q-1)!</math>, получаем
{{bi|1=<math>p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}</math>}}
Переносим <math>\sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math> в левую часть:
{{bi|1=<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math>}}
Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,
{{bi|1=<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m}</math>}}
Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:
{{bi|1=<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < {1\over q}</math>}}
Поскольку <math>q\ge 1</math>,
{{bi|1=<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < 1</math>}}

Получаем противоречие.
== История ==
Данное число раньше иногда называли ''неперовым'' в честь шотландского учёного [[Непер, Джон|Непера]], автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» ([[1614 год]]). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа <math>x</math> был равен <math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)</math>.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в [[1618 год]]у. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик [[Отред, Уильям|Отред]].

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик [[Бернулли, Якоб|Якоб Бернулли]] в ходе решения задачи о предельной величине [[Процентный доход|процентного дохода]].
Он обнаружил, что если исходная сумма <math>\$1</math> и начисляется <math>100\%</math> годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет <math>\$2</math>. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то <math>\$1</math> умножается на <math>1{,}5</math> дважды, получая <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}5^2 = \$2{,}25</math>. Начисления процентов раз в квартал приводит к <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}25^4 = \$2{,}44140625</math>, и так далее.
Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае [[сложный процент|сложного процента]] имеет [[Предел последовательности|предел]]: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>, и этот предел равен числу <math>e ~ (\approx 2{,}71828)</math>.

{{bi|1=
{{unbulleted list
|1=<math>\$1{,}00 \cdot \left( 1+ \frac{1}{12} \right)^{12} = \$2{,}613035...</math>
|2=<math>\$1{,}00 \cdot \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} = \$2{,}714567...</math>
}}
}}
Таким образом, константа <math>e</math> означает максимально возможную годовую прибыль при <math>100\%</math> годовых и максимальной частоте [[Капитализация процентов|капитализации процентов]]<ref name="OConnor">{{cite web|url=<!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number ''e''|publisher=MacTutor History of Mathematics|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson|access-date=2014-10-23|archive-date=2012-02-11|archive-url=https://www.webcitation.org/65NiCJyO4?url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|url-status=live}}</ref>.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой <math>b</math>, встречается в письмах [[Лейбниц, Готфрид|Лейбница]] [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенсу]], [[1690]]—[[1691 год]]ы.

Букву <math>e</math> начал использовать Эйлер в [[1727 год]]у, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику [[Гольдбах, Кристиан|Гольдбаху]] от 25 ноября 1731 года<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'', vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false page 58.] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false |date=20170131221100 }}</ref><ref>{{книга |заглавие=Theory of Complex Functions |ссылка=https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318 |страницы=[https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm_318/page/n156 136] |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1991 |isbn=0-387-97195-5 |ref=Remmert |язык= |автор={{Нп3|Reinhold Remmert|Remmert, Reinhold|en|Reinhold Remmert}}}}</ref>, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», [[1736 год]]. Соответственно, <math>e</math> обычно называют ''числом Эйлера''. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву <math>c</math>, буква <math>e</math> применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

В [[Язык программирования|языках программирования]] символу <math>e</math> в [[Экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка [[FORTRAN]] для математических вычислений<ref>{{книга
 |автор = Эккель Б.
 |заглавие = Философия Java
 |оригинал = Thinking in Java
 |издание = 4-е изд
 |серия = Библиотека программиста
 |место = СПб.
 |издательство = Питер
 |год = 2009
 |страницы = 84
 |isbn = 978-5-388-00003-3
}}</ref>.

=== Количество знаков после запятой ===
{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:1em"
|+ Количество известных десятичных цифр числа {{mvar|e}}
! Дата || Десятичные цифры || Вычислил
|-
| 1690 ||align=right| 1 || [[Якоб Бернулли]]
|-
| 1714 ||align=right| 13 || [[Роджер Котс]]<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria, " ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''29''' (338) : 5-45; [https://archive.today/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 see especially the bottom of page 10.] From page 10: ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, …)</ref>
|-
| 1748 ||align=right| 23 || [[Леонард Эйлер]]<ref>Leonhard Euler, ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 page 90.]</ref>
|-
| 1853 ||align=right| 137 || [[Вильям Шенкс]]<ref>William Shanks, ''Contributions to Mathematics'', … (London, England: G. Bell, 1853), [https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89 page 89.]</ref>
|-
| 1871 ||align=right| 205 || Вильям Шенкс<ref>William Shanks (1871) [https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27 "On the numerical values of {{mvar|e}}, {{math|log<sub>''e''</sub> 2}}, {{math|log<sub>''e''</sub> 3}}, {{math|log<sub>''e''</sub> 5}}, and {{math|log<sub>''e''</sub> 10}}, also on the numerical value of {{mvar|M}} the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals, "] ''Proceedings of the Royal Society of London'', '''20''' : 27-29.</ref>
|-
| 1949 ||align=right| 2010 || [[Джон фон Нейман]] (на [[ENIAC]])
|-
| 1961 ||align=right| {{num|100265}} || [[Дэниел Шенкс]] and {{iw|Джон Ренч|||John Wrench}}<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.">{{cite journal|author1=Daniel Shanks |author2= John W Wrench|quote=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|title=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|journal =Mathematics of Computation|volume= 16 |year=1962| issue =77| pages =76–99 |author1-link=Daniel Shanks |author2-link= John Wrench |quote-page=78|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|doi=10.2307/2003813|jstor=2003813}}</ref>
|-
| 1978 ||align=right| {{num|116000}} || [[Стив Возняк]] (на [[Apple II]])<ref name="wozniak198106">{{cite magazine | url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up | title=The Impossible Dream: Computing <math>e</math> to 116,000 Places with a Personal Computer | magazine=BYTE |volume=6 |issue=6 |author-link=Steve Wozniak |publisher=McGraw-Hill | date=1981-06 | access-date=2013-10-18 | last=Wozniak |first= Steve | page=392}}</ref>
|}
Число известных цифр числа {{mvar|e}} существенно возросло с момента появления компьютера, как из-за повышения производительности компьютеров, так и из-за усовершенствования алгоритмов<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html The constant {{mvar|e}} and its computation]</ref><ref>Gourdon, X.; [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html Reported large computations with PiFast]</ref>.

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы знаков числа {{mvar|e}} за приемлемое время. 24 декабря 2023 года Джордан Раноус установил рекорд, доведя число {{mvar|e}} до {{num|35 000 000 000 000}} знаков<ref>{{cite web|title=y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program|editor=Alexander Yee|work=Numberworld|date=2025-03-15|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/#Records}}</ref>.

== Мнемоника ==
Мнемоническое правило для числа Эйлера с точностью до 21 знака после запятой: 2 и 7, далее два раза год рождения [[Толстой, Лев Николаевич|Льва Толстого]] (1828), затем углы [[Равнобедренный треугольник|равнобедренного]] [[Прямоугольный треугольник|прямоугольного]] [[треугольник]]а (45, 90 и 45 градусов), после них три первых [[Простое число|простых числа]] (2, 3 и 5) и количество [[Градус (геометрия)|градусов]] в [[Оборот (единица измерения)|полном обороте]] (360).

Стихотворная [[мнемофраза]], иллюстрирующая часть этого правила для первых девяти цифр после запятой:
<blockquote>Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой</blockquote>

== Приближения ==
<math> e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6}</math>, с точностью 0,000001.

В соответствии с теорией [[непрерывная дробь|непрерывных дробей]] наилучшими рациональными приближениями числа <math>e</math> будут [[подходящие дроби]] разложения числа <math>e</math> в непрерывную дробь.

* Число 19/7 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,004;
* Число 87/32 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0005;
* Число 193/71 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,00003;
* Число 1264/465 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,000003;
* Число 2721/1001 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0000002;

Площадь поверхности [[квадратная пирамида|квадратной пирамиды]], у которой боковые грани [[Правильный треугольник|правильные треугольники]] с длиной ребра 1 (точность 0,014).{{значимость факта?}}

== Открытые проблемы ==
* Неизвестно, является ли число <math>e</math> элементом [[Кольцо периодов|кольца периодов]].
* Неизвестна [[мера иррациональности]] ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно [[Рациональное число|рациональным]] числом, [[Алгебраическое число|алгебраическим]] [[Иррациональное число|иррациональным]] или [[Трансцендентное число|трансцендентным]] числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимыми]]<ref>{{MathWorld|IrrationalNumber|Иррациональное число}}</ref><ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>{{MathWorld|e|e|author=Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf |title=Some unsolved problems in number theory |access-date=2011-12-08 |archive-date=2010-07-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100719030203/http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf |url-status=live }}</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |title=An introduction to irrationality and transcendence methods |access-date=2011-12-08 |archive-date=2013-05-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130517183134/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf |url-status=live }}</ref>.
* Неизвестно, является ли первое [[число Скьюза]] <math>e^{e^{e^{79}}}</math> целым числом.

== См. также ==
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]
* [[Математическая константа]]
* [[Число]]
* [[Пи (число)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{Из|Кругосвет|http://krugosvet.ru/node/41097|заглавие=Число e}}
* {{статья|автор=[[Горобец, Борис Соломонович|Горобец Б. С.]] |ссылка=http://www.nkj.ru/archive/articles/4774/?ELEMENT_ID=4774 |заглавие=Мировые константы в основных законах физики и физиологии |издание=[[Наука и жизнь]] |год=2004 |номер=2 |язык=ru }} (статья с примерами физического смысла констант <math>\pi</math> и <math>e</math>)
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/e.html
 |title = История числа ''e''
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 2001-09
|lang=en}}
* [https://web.archive.org/web/20041209035415/http://www.pballew.net/arithm10.html#euler_e e for 2.71828…]{{ref|en}} (история и правило Джексона)
* «[http://ru.yasno.tv/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno Экспонента и число е: просто и понятно] {{Wayback|url=http://ru.yasno.tv/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno |date=20150925064710 }}» — перевод статьи [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained]{{ref|en}}
* Простое доказательство трансцендентности чисел e (на школьном уровне) и [[Пи (число)|π]] см. стр. 520—535 Веберъ Г., Вельштейнъ И. Энциклопедiя элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализъ. 1906

{{Внешние ссылки}}
{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа|nocat=1}}
{{Производные буквы E}}

[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Трансцендентные числа]]
[[Категория:Логарифмы]]
[[Категория:Положительные числа]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Джона Непера]]