Экстремум
Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.Шаблон:Sfn
Определения
Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R,</math> и <math>x_0 \in M^0</math> — внутренняя точка области определения <math>f.</math> Тогда
- <math>x_0</math> называется точкой локального максимума функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что
- <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
- <math>x_0</math> называется точкой локального минимума функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что
- <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>
- <math>x_0</math> называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если
- <math>\forall x\in M\quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
- <math>x_0</math> называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если
- <math>\forall x\in M\quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>
Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.
Значение функции <math>f(x_0)</math> называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
Замечание
Функция <math>f,</math> определённая на множестве <math>M,</math> может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, <math>f(x) = x,\; x\in (-1,1).</math>
Функция, тождественно равная константе в любой точке, не имеет строгих экстремумов.
Необходимые условия существования локальных экстремумов
- Из леммы Ферма вытекает следующее<ref name=":0">Шаблон:Книга</ref>:
- Пусть точка <math>x_0</math> является точкой экстремума функции <math>f</math>, определенной в некоторой окрестности точки <math>x_0</math>.
- Тогда либо производная <math>f'(x_0)</math> не существует, либо <math>f'(x_0) = 0</math>.
Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции <math>f(x)=x^3</math>.
Достаточные условия существования локальных экстремумов
- Пусть функция <math>f\in C(x_0)</math> непрерывна в <math>x_0\in M^0,</math> и существуют конечные или бесконечные односторонние производные <math>f'_+(x_0), f'_-(x_0)</math>. Тогда при условии
- <math>f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0</math>
<math>x_0</math> является точкой строгого локального максимума. А если
- <math>f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,</math>
то <math>x_0</math> является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке <math>x_0</math>.
- Пусть функция <math>f</math> непрерывна и дважды дифференцируема в точке <math>x_0</math>. Тогда при условии
- <math>f'(x_0)=0</math> и <math>f(x_0) < 0</math>
<math>x_0</math> является точкой локального максимума. А если
- <math>f'(x_0)=0</math> и <math>f(x_0) > 0</math>
то <math>x_0</math> является точкой локального минимума.
- Пусть функция <math>f</math> дифференцируема <math>n</math> раз в точке <math>x_0</math> и <math>f'(x_0)=f(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0</math>, а <math>f^{(n)}(x_0)\ne 0</math>.
Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)<0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального максимума. Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)>0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального минимума. Если <math>n</math> нечётно, то экстремума нет.