Шестидесятеричная система счисления
Шаблон:Системы счисления Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 60. Изобретена шумерами в III тысячелетии до н. э., использовалась в древние времена на Ближнем Востоке.
Исторический очерк
С одной стороны, шестидесятеричная система удобна тем, что основание системы делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. С другой стороны, наличие 60 цифр создаёт многочисленные неудобства (скажем, таблица умножения насчитывала 1770 строк на глиняных табличках), так что использовавшим эту систему финикийским и вавилонским математикам пришлось разработать специальную технику записи цифр — число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичнойШаблон:Sfn.
Происхождение шестидесятеричной системы неясно. По одной гипотезе (И. Н. Веселовский), она связана с применением счёта на пальцахШаблон:Sfn. Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927)<ref>Шаблон:Книга</ref> о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел. И. Н. Веселовский выступил с критикой этой гипотезы, отметив, что шестидесятеричная система существовала у шумеров задолго до аккадского завоевания, ещё в IV тысячелетии до н. э.<ref>Шаблон:Статья</ref> Другие историки оспаривают это утверждение Веселовского и на основании археологических находок доказывают, что исконная числовая система шумеров (в IV тысячелетии до н. э.) была десятичной<ref>Шаблон:Книга</ref>. Французский историк Шаблон:Нп5 в своей классической монографии «Всеобщая история чисел» (1985) аргументировал мнение, близкое к гипотезе Веселовского, шестидесятеричная система есть результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной. Археологические находки показали, что обе эти системы действительно реально использовались, а шумерские названия чисел 6, 7 и 9 обнаруживают следы пятеричного счёта, видимо, наиболее древнего<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд.
Аль-Бируни был первым, кто разделил час на шестидесятеричные части: минуты, секунды, трети и четверти в 1000 году<ref name="al-Biruni">Шаблон:Citation</ref>. Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию<ref>Шаблон:Книга</ref>. <templatestyles src="Шаблон:Начало_цитаты/styles.css" />{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |
}}{{#if: |
:
}}
{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |
}} Огонь — Шаблон:Дробь часть геенны огненной. Финиковый нектар — Шаблон:Дробь часть манны небесной. Суббота — Шаблон:Дробь часть рая. Сон — Шаблон:Дробь часть смерти. Сновидение — Шаблон:Дробь часть пророчества. Шаблон:Oq {{#if: Вавилонский Талмуд, Брахот 57 б
| <templatestyles src="Шаблон:Конец цитаты/styles.css" />
}}
В XIII веке влиятельный ректор Парижского университета Пётр Филомен (он же — Petrus de Dacia<ref>Smith D. E. History of mathematics, p. 238</ref>) выступил за повсеместное внедрение шестидесятеричной системы в Европе. В XV веке с аналогичным призывом выступил Иоганн Гмунден, профессор математики Венского университета. Обе инициативы остались без последствий.
Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас шестидесятеричную систему применяют при измерении углов и времени. Причём за пределами Европы, в КНР, шестидесятеричная система иногда используется не только для секунд и минут, но и для лет. Так, в пятом издании (2005 год) популярного в КНР словаря Сяньдай Ханьюй Цыдянь приведена таблица правителей с указанием года как по десятичной системе, так и иероглифического обозначения номера года в шестидесятилетнем цикле<ref>Шаблон:Книга. На странице 1837 приведено описание таблицы правителей и таблица соответствия номера года в шестидесятилетнем цикле его иероглифическому (два иероглифа) обозначению в словаре</ref>.
Структура шестидесятеричного числа
Первый шестидесятеричный знак после запятой называется «минутой» (′), второй — «секундой» (″). Ранее использовались названия: «терция» (‴) для третьего знака, «кварта» для четвёртого знака, «квинта» для пятого знака Шаблон:Nobr Название «минута» происходит от того же слова, что и «минимум» и обозначает «малую часть», а «секунда», «терция» и остальные являются порядковыми — «второе» деление на части, «третье» деление на части Шаблон:Nobr Частей традиционно берётся по 60.
Примеры использования
- 1 радиан ≈ 57°17′45″ = <math>\left ( 57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2} \right )^\circ</math>.
- Николай Коперник в знаменитой работе «О вращениях небесных сфер» даёт значение сидерического года 365;15′24″10‴ дней, приблизительно 365,25671 дней.
Вавилонская система счисления
Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: стоячий клин Файл:Babylonian digit 1.svg для обозначения единиц и лежачий клин Файл:Babylonian digit 10.svg для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда.
Таким образом, вавилонские цифры были составными и записывались как числа в десятеричной не позиционной системе счисления. Аналогичный принцип использовали индейцы Майя в своей двадцатеричной позиционной системе счисления. Для понимания записи числа между вавилонскими цифрами необходимы «пробелы».
- Файл:Babylonian digit 1.svgФайл:Babylonian digit 2.svg = 62, Файл:Babylonian digit 2.svgФайл:Babylonian digit 2.svg = 122 и Файл:Babylonian digit 2.svgФайл:Babylonian digit 9.svg = 129.
Система использовалась для записи как целых, так и дробных чисел.
Вначале нуля не было, что приводило к неоднозначной записи чисел, и об их значении приходилось догадываться по контексту. Позже (между VI и III веком до нашей эры) появилось обозначение «нуля» Файл:Babylonian digit 0.svg, но только для обозначения пустых шестидесятеричных разрядов в середине числа<ref name="lukped">Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>. Заключительные нули числа не писались, и запись чисел оставалась неоднозначной.
