Число Мерсенна

Число Мерсе́нна — число вида <math>M_n = 2^n - 1</math>, где <math>n</math> — натуральное число; некоторые из таких чисел являются простыми при больших значениях <math>n</math>. Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке.

Первые числа Мерсенна<ref>последовательность A000225 в OEIS</ref>:

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16 383, 32 767, 65 535, 131 071, …

Свойства

Для всех <math>M_n</math> справедливо следующее: если <math>n</math> составное, <math>n =kl, k,l>1</math>, то и <math>M_n</math> тоже составное, что следует из разложения:

<math>2^n - 1 = 2^{kl} - 1 = (2^k - 1)(2^{k(l-1)} + 2^{/k(l-2)} + \dots + 1),</math>.

Отсюда сразу следует: число <math>M_n</math> является простым, только если число <math>n</math> также простое. Обратное утверждение в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является <math>M_{11} = 2047 = 23\cdot 89</math>.

Любой делитель составного числа <math>M_p</math> для простого <math>p</math> имеет вид <math>2 \cdot p \cdot k + 1</math>, где <math>k</math> — натуральное число (это является следствием малой теоремы Ферма).

Простые числа Мерсенна тесно связаны с совершенными числами. Евклид показал, что число вида <math>\tfrac{M_p(M_p+1)}{2}=2^{p-1}(2^p - 1)</math>, где число Мерсенна <math>M_p</math> — простое, является совершенным. Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа исчерпываются этой формулой (что касается нечётных совершенных чисел, то до сих пор ничего не известно об их существовании).

Простые числа Мерсенна

Для всех простых чисел вида <math>2^n - 1</math> показатель степени <math>n</math> также всегда является простым числом, поэтому особо изучаются числа Мерсенна <math>M_p = 2^p - 1</math> с простым показателем <math>p</math><ref>последовательность A001348 в OEIS</ref> (в некоторых работах только такие числа считаются числами Мерсенна). Последовательность простых чисел Мерсенна начинается так<ref>последовательность A000668 в OEIS</ref>:

Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, Шаблон:Val, 2 305 843 009 213 693 951, 618 970 019 642 690 137 449 562 111, 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127, 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727, …

Показатели <math>p</math> пятидесяти двух известных простых чисел Мерсенна образуют последовательность<ref>последовательность A000043 в OEIS</ref><ref name="gimp">Шаблон:Cite web</ref>:

Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным алгоритмом проверки на простоту чисел Мерсенна — тестом Люка — Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые больши́е известные простые числа<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Двенадцатое простое число Мерсенна удерживало титул самого большого известного простого числа в течение 75 лет с 1876 по 1951 годы. Простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдослучайных чисел с большими периодами<ref>Шаблон:Статья</ref>, таких как вихрь Мерсенна.

Поиск простых чисел Мерсенна

По состоянию Шаблон:На самым больши́м известным простым числом является число Мерсенна <math>2^{136279841} - 1</math>, найденное 12 октября 2024 года Люком Дюрантом в рамках проекта добровольных вычислений GIMPS. Десятичная запись числа содержит Шаблон:Число цифр<ref name="GIMPS-2024">Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Всего Шаблон:На известно 52 простых числа Мерсенна, при этом порядковые номера достоверно установлены только у первых 50 чисел<ref>Шаблон:Cite web</ref>. В частности, неизвестно, существуют ли другие простые числа Мерсенна, меньшие известного рекордного. При этом 45-е простое число Мерсенна <math>M_{37156667}</math> было найдено на две недели позднее 47-го известного простого числа Мерсенна <math>M_{43112609}</math>, а 46-е известное простое число Мерсенна <math>M_{42643801}</math> было найдено только через год.

За нахождение 47-го простого числа Мерсенна <math>M_{43112609}</math> проектом GIMPS в 2009 году была получена премия в 100 тыс. долларов США, назначенная сообществом Electronic Frontier Foundation за первое нахождение простого числа, десятичная запись которого содержит не менее 10 миллионов цифр<ref>Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize Шаблон:Wayback Шаблон:Ref</ref>.

Вариации и обобщения

Шаблон:ЛП Шаблон:ЛП Шаблон:ЯкорьДвойное число Мерсенна — число вида <math>M_{M_n} = 2^{2^n - 1} - 1</math>. На 2026 год известны только 4 простых числа такого вида (при <math>n = 2, 3, 5, 7</math>).

Шаблон:ЯкорьЧисло Каталана — Мерсенна — член последовательности чисел, начинающейся с 2 и строящейся путём применения функции <math>2^n - 1</math> к предыдущему члену <math>n</math>; первые элементы<ref>последовательность A007013 в OEIS</ref>:

2, 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727…

Каталан предполагал, что эти числа просты «вплоть до некоторого предела».

Шаблон:ЯкорьОбобщённое число Мерсенна — число вида:

<math>h^0 + h^1 + h^2 + \dots + h^{n-1} = \frac{h^n - 1}{h - 1} = M_{h,n}</math>.

Такое обобщение связано с тем, что <math>2^n - 1</math> можно представить в виде суммы <math>n</math> первых членов возрастающей геометрической прогрессии:

<math>2^n - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2^n -1}{2 - 1}</math>,

иными словами, числа Мерсенна являются частным случаем обобщённых чисел Мерсенна при <math>h=2</math>. При некоторых значениях <math>h</math> и <math>n</math> обобщённые числа Мерсенна являются простыми, например, <math>M_{3,3}</math>, <math>M_{3,7}</math>, <math>M_{3,13}</math>, <math>M_{3,71}</math>, <math>M_{5,3}</math>, <math>M_{5,7}</math>, <math>M_{5,47}</math> и ряд других.

Открытые проблемы

Неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна.

Неизвестно, какова плотность распределения чисел Мерсенна во множестве натуральных чисел.

Неизвестно, существуют ли простые числа Каталана — Мерсенна при <math>n > 4</math>.

Неизвестно, существуют ли простые двойные числа Мерсенна при <math>n > 7</math>.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Interwiki extra