Частица в периодическом потенциале

В квантовой механике задача о части́це в одноме́рном периоди́ческом потенциа́ле — идеализированная задача, которая может быть решена аналитически (для некоторых потенциальных полей специального вида), без упрощений. При решении предполагается, что функция потенциала задана на всем бесконечном пространстве и периодична, то есть обладает трансляционной симметрией, что, вообще говоря, не выполняется для реальных кристаллов, где всегда существует как минимум один дефект — поверхность кристалла (это приводит к другой задаче о поверхностных состояниях или таммовских уровнях).

Общий вид спектра

Периодическая задача

Рассмотрим одномерную решётку ионов, расстояние между которыми <math>a</math>. Потенциал при этом будет периодическим. Рассмотрим сначала идеализированный случай бесконечного кристалла. Уравнение Шрёдингера имеет вид:

<math> -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2} + V_a(x) \psi (x) = E \psi (x)</math>

с периодическим потенциалом вида <math> V_a(x) = V_a(x+a).</math> Спектр определяется как множество тех энергий, при которых уравнение имеет решения, ограниченные (не стремящиеся к нулю или бесконечности) на всей вещественной оси. Уравнение Шрёдингера имеет второй порядок, соответственно пространство решений является двумерным. Пусть <math>\psi_{1,2}</math> — линейно независимые решения уравнения. Тогда при сдвиге на период, в силу периодичности задачи, они преобразуются через друг друга:

<math>\left( \begin{matrix} \psi_1(x+a) \\ \psi_2(x+a) \end{matrix} \right) = \mathrm{T} \left( \begin{matrix} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \end{matrix} \right),</math>

где <math>\mathrm{T}</math> — некоторая матрица (матрица монодромии).

Рассматривая вронскиан, можно показать, что <math>\mathrm{T}</math> унитарна и <math>\det \mathrm{T} = 1</math>. Отсюда следует, что в некотором базисе она имеет вид:

<math>\mathrm{T} = \left( \begin{matrix} e^{\mathrm{i}ka} & 0 \\ 0 & e^{-\mathrm{i}ka} \end{matrix} \right).</math>

Отсюда следует теорема Блоха: соответствующие собственные функции имеют вид:

<math> \psi_{1,2} (x) = e^{\mathrm{i}kx} \phi_{1,2}(x),</math>

где <math>\phi_{1,2}(x)</math> — периодические функции.

Заметим, что пока что <math>k\in\Complex</math>. Очевидно, что спектру соответствуют <math>k\in\R,</math> что с учётом унитарности равносильно условию на след матрицы монодромии:

<math>\mathrm{Tr}\ \mathrm{T} = 2\cos(ka) \in [-2; 2].</math>

Можно показать, что <math>\mathrm{Tr}( \mathrm{T})(E)</math> есть гладкая функция.

Отсюда следует зонная структура спектра: для частицы в периодическом потенциале допустимые уровни энергии — это некоторое, обычно бесконечное, множество отрезков на вещественной оси. Для потенциала общего вида спектр не имеет изолированных точек, при малом изменении потенциала они либо исчезают, либо превращаются в зоны с малой шириной. Заметим, что крайние отрезки спектра в принципе могут быть неограниченны, при этом все уровни энергии, начиная с некоторого, являются допустимыми, а полное число зон конечно (см. конечнозонное интегрирование). В подобной постановке задача допускает полное и простое решение в тэта-функциях.

Величину <math>k</math> называют квазиимпульсом, по аналогии с волновым числом волновой функции <math>e^{\mathrm{i}kx}</math> для частицы с определённым импульсом <math>k.</math> Как видно, волновая функция полностью определяется величиной <math>k</math> и значениямии функции на отрезке длиной <math>a.</math>

Аналогично возникают энергетические зоны в решётках более высоких размерностей.

Влияние границ кристалла

В реальном кристалле число допустимых состояний очень велико. Приводящее к этому дополнительное ограничение на величину квазиимпульса возникает из граничных условий на волновую функцию на поверхности кристалла. При этом вместо непрерывных зон возникают области с плотно расположенными дискретными уровнями энергии (разрешённые зоны) и области, в которых разрешённых состояний вообще нет (запрещённые зоны). Оценим расстояние между уровнями энергии в разрешённых зонах.

Вместо рассмотрения допустимых уровней энергии (для этого потребовалась бы дополнительная информация, вроде дисперсионного соотношения и точной структуры кристалла) рассмотрим допустимые значения квазиимпульса. При рассмотрении изолированного кристалла обычно рассматриваются периодические граничные условия на волновую функцию. Это предположение оправдано, так как точные граничные условия в реальном кристалле состоят в занулении волновой функции электронов на его границе. Для одномерного кристалла это означает чётность волновой функции (0 находится в центре кристалла). Если же влияние границ на волновую функцию мало́, то приближённо можно забыть про точное значение волновой функции на границе, сохранив лишь свойство симметрии — чётность.

Рассмотрим одномерный кристалл длины <math>L</math>. Граничное условие имеет вид:

<math> \psi (0)=\psi (L).</math>

С учётом теоремы Блоха отсюда следует, что:

<math>kL = 2\pi n,\; n\in\Z.</math>

Таким образом, расстояние между соседними допустимыми значениями квазиимпульса равно:

<math>\Delta k = \frac{2\pi n}{L}.</math>

Аналогично, в общем случае, для кубической кристаллической решётки:

<math>\Delta k_{x,y,z} = \frac{2\pi n}{ L_{x,y,z}}.</math>

Модель Кронига — Пенни

Периодический потенциал с периодом <math>a</math> и шириной прямоугольной потенциальной ямы <math>b</math>

Для упрощения задачи потенциал аппроксимируют прямоугольной функцией используя теорему Блоха. При этом находят волновую функцию во всём пространстве, но сначала исследуют решение для неё на одном периоде, и делают его гладким на границах периодов, то есть «сшивают» значения функций в соседних периодах и их производных.

Рассмотрим один период потенциала<ref>Шаблон:Статья</ref>:
У нас есть две независимых области для которых мы найдём решения:

<math>0<x<a-b : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = E \psi\Rightarrow \psi = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} \quad \left( \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} \right)</math>

<math>-b<x<0 : {-\hbar^2 \over 2m} \psi_{xx} = (E+V_0)\psi \Rightarrow \psi = B e^{i \beta x} + B' e^{-i \beta x} \quad \left( \beta^2 = {2m(E+V_0) \over \hbar^2} \right).</math>

Для нахождения <math>u(x)</math> в каждой области нужно проделать следующие преобразования:

<math> \psi(0<x<a-b) = A e^{i \alpha x} + A' e^{-i \alpha x} = e^{ikx} \cdot \left( A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x} \right) </math>

<math> \Rightarrow u(0<x<a-b)=A e^{i (\alpha-k) x} + A' e^{-i (\alpha+k) x}.</math>

Аналогично получим:

<math> u( -b<x<0)=B e^{ i (\beta - k) x} + B' e^{ - i ( \beta + k ) x}.</math>

Чтобы найти полное решение, надо убедиться в гладкости искомой функции на границах:

<math> \psi(0^{-})=\psi(0^{+}) \quad \psi'(0^{-})=\psi'(0^{+}) </math>

и периодичности <math>u(x)</math> и <math>u'(x):</math>

<math> u(-b)=u(a-b) \quad u'(-b)=u'(a-b).</math>

Эти условия порождают следующую матрицу:

<math> \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ \alpha & -\alpha & -\beta & \beta \\ e^{i(\alpha-k)(a-b)} & e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -e^{-i(\beta-k)b} & -e^{i(\beta+k)b} \\ (\alpha-k)e^{i(\alpha-k)(a-b)} & -(\alpha+k)e^{-i(\alpha+k)(a-b)} & -(\beta-k)e^{-i(\beta-k)b} & (\beta+k)e^{i(\beta+k)b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ A' \\ B \\ B' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.</math>

Для существования нетривиального решения необходимо чтобы детерминант этой матрицы был равен нулю. После некоторых преобразований получаем:

<math> \cos(k a) = \cos(\beta b) \cos[\alpha(a-b)]-{\alpha^2+\beta^2 \over 2\alpha \beta} \sin(\beta b) \sin[\alpha(a-b)]. \qquad ( * )</math>

Для дальнейшего упрощения выполним следующие преобразования, смысл которых заключается в переходе к дельта-образным потенциалам (типа дираковская гребёнка):

<math> b \rightarrow 0 \ ; \ V_0 \rightarrow \infty \ ; \ V_0 b = \mathrm{constant}.</math>

<math> \Rightarrow \beta b \rightarrow 0 \ ; \ \beta^2 b = \mathrm{constant} \ ; \ \alpha^2 b \rightarrow 0 \ ; \ \sin(\beta b) \rightarrow \beta b \ ; \ \cos(\beta b) \rightarrow 1.</math>

Тогда конечный ответ будет:

<math> \cos(k a) = \cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} \qquad \left( P={\beta^2 a b \over 2} \right).</math>

Программный код

Код для Maple

Следующий программный код написан на языке Maple (9.5). Представляет собой просто графическое решение <math>( * )</math>. Шаблон:Скрытый

На рисунках представлены графические решения уравнения (*).

Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Существуют области по энергии, где ни при каких значениях волнового вектора невозможно существование электрона. Линии отвечают разрешённым значениям энергии. Показано движение закона дисперсии в зависимости от глубины потенциальной ямы. На правом рисунке видно, как при некотором значении потенциальной энергии возможно образование одномерного бесщелевого полупроводника.

Код для Scilab

Линии по-прежнему отвечают разрешённым значениям энергии. Синим изображено решение для модели Кронига-Пенни, красным — гребёнки Дирака при тех же значениях V₀b

Код ниже является фактически переводом предшествующей программы на язык Scilab, за тем исключением, что иллюстрирует также и случай перехода к гребёнке Дирака.

Код для Matlab

Код ниже является переводом предшествующей программы на язык Matlab. Шаблон:Скрытый

Ссылки

• Задачи по квантовой механике. Часть 1. Галицкий, Карнаков, Коган.
• 1-D periodic potential applet

Литература

• Шаблон:Статья