Закон дисперсии
Зако́н диспе́рсии, или дисперсио́нное соотноше́ние, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:
- <math>\omega = \omega(\mathbf k)</math>.
Математический вид этой зависимости, выражающей связь временно́й и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.
Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:
- <math> \mathbf{v}_\text{ph} = \frac{\omega}{k} \cdot \frac{\mathbf{k}}{k}, \quad
\mathbf{v}_\text{gr} = \frac{d\omega}{d\mathbf{k}}</math>. В простейшем случае линейной связи <math>\omega</math> и <math>k</math> эти скорости совпадают.
Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.
Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости
- <math>E = E(\mathbf k)</math>
для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) <math>E = \hbar\omega</math> или частицы, где <math>\hbar</math> — постоянная Планка-Дирака.
Волновое уравнение и дисперсия
В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.
Нахождение дисперсионного соотношения
Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.
Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.
Примеры для волн различных типов
Дисперсия видимого света в оптике
Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.
Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).
Упругие колебания атомов в цепочке
Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой <math>m</math>, расстояние между ними <math>d</math>. Сместим <math>n</math>-й атом на малое расстояние <math>u_n</math>. Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.
С учётом ближайших соседей, действующая на <math>n</math>-й атом сила запишется как
- <math>F_n = - \beta (u_n-u_{n+1}) - \beta (u_n - u_{n-1}) = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}), </math>
где <math>\beta</math> — коэффициент. Уравнение движения для <math>n</math>-го атома имеет вид
- <math>ma_n = F_n \quad\Longleftrightarrow\quad m \cfrac {d^2 u_n} {dt^2} = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1})</math>.
Его решение ищется в форме <math>A e^{i(kd - \omega t)}</math>, где <math>k</math> — волновое число, <math>A =\,</math>const, а <math>\omega</math> — частота. Тогда
- <math>-m\omega^2 = \beta (e^{ikd} + e^{-ikd} -2) = - 2 \beta (1 - \cos kd) = - 4 \beta \sin^2 (kd/2),</math>
откуда получается:
- <math> \omega = \pm \omega_m \sin {kd/2},\,\,</math> где <math>\,\,\omega_m = 2 \sqrt{\beta/m}</math>.
Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.
Законы дисперсии для электронов
В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.
В полупроводниках, в диапазоне энергий электрона <math>E</math> вблизи минимума зоны проводимости <math>E_c</math> дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой <math>m^*</math> отличной от массы свободного электрона:
- <math> E = E_c + \hbar^2k^2/2m^*</math>.
Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.
См. также
Примечания
Литература
Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.