Теорема о равномерной непрерывности
Шаблон:Значения Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Формулировка
Пусть даны два метрических пространства <math>(X,\rho_X)</math> и <math>(Y,\rho_Y).</math> Пусть также дано компактное подмножество <math>A \subset X</math> и определённая на нём непрерывная функция <math>f\colon A \to Y.</math> Тогда <math>f</math> равномерно непрерывна на <math>A.</math>
Замечания
- В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, <math>f\colon[a,b]\subset \R \to \R</math> равномерно непрерывна на нём.
- В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
- <math>f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)</math>
- непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.
История
Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.<ref>Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365</ref> Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.<ref>Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.</ref> В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.
Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.<ref>Rusnock, Paul, and Angus Kerr-Lawson. "Bolzano and uniform continuity." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.</ref>