Рефлексивное отношение
Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение <math>R</math> на множестве <math>X</math>, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении <math>R</math> с самим собой<ref name="Kap">Капитонова Ю. В., Кривой С. Л., Летичевский А. А. Лекции по дискретной математике. — СПб., БХВ-Петербург, 2004. — ISBN 5-94157-546-7, с 20</ref>.
Формально, отношение <math>R</math> рефлексивно, если <math>\forall x \in X:\ (x R x)</math>.
Свойство рефлексивности отношения при задании матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при задании отношения графом каждый элемент Шаблон:Mvar имеет петлю — дугу Шаблон:Math.
Бинарное отношение <math>R</math> на множестве <math>X</math> является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение <math>\operatorname{id}_X</math> на множестве <math>X</math> (<math>\operatorname{id}_X=\{(x,x)|x\in X\}</math>), то есть <math> \operatorname{id}_X \subseteq R</math>.
Если <math>aRa</math> не имеет смысла, то отношение <math>R</math> называется антирефлексивным (или иррефлексивным)<ref name="Kap"></ref>.
Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида Шаблон:Math.
Формально антирефлексивность отношения <math>R</math> определяется как: <math>\forall x \in X:\ \neg (x R x)</math>.
Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества <math>X</math>, говорят, что отношение <math>R</math> нерефлексивно.
Примеры рефлексивных отношений
Рефлексивные отношения:
- отношения эквивалентности:
- отношение равенства (<math>=\;</math>);
- отношение сравнимости по модулю;
- отношение параллельности прямых и плоскостей;
- отношение подобия геометрических фигур;
- отношения нестрогого порядка:
- отношение нестрогого неравенства (<math>\leqslant</math>);
- отношение нестрогого подмножества (<math> \subseteq </math>);
- отношение делимости (<math>\vdots</math>).
Примеры антирефлексивных отношений
Антирефлексивные отношения:
- отношение неравенства (<math>\ne\;</math>);
- отношения строгого порядка:
- отношение строгого неравенства (<math><\;</math>);
- отношение строгого подмножества (<math>\subset</math>);
- отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.