Покрытие множества
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.
Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами<ref>[[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/}}|/ru}}]]</ref>.
Определения
- Пусть дано множество <math>X</math>. Семейство множеств <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> называется покрытием <math>X</math>, если
- <math>X \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.</math>
- Пусть дано топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> — произвольное множество, а <math>\mathcal{T}</math> — определённая на <math>X</math> топология. Тогда семейство открытых множеств <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subseteq \mathcal{T}</math> называется открытым покрытием множества <math>Y \subseteq X</math>, если
- <math>Y \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.</math>
Связанные определения
- Если <math>C</math> — покрытие множества <math>Y</math>, то любое подмножество <math>D \subset C</math>, также являющееся покрытием <math>Y</math>, называется подпокры́тием.
- Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие <math>D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B}</math> вписано в покрытие <math>C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, если
- <math>\forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A</math> такое, что <math>V_{\beta} \subseteq U_{\alpha}.</math>
- Покрытие <math>C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> множества <math>Y</math> называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки <math>y\in Y</math> существует окрестность <math>U \ni y</math>, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов <math>C</math>, то есть множество <math>\{\alpha \in A \mid U_{\alpha} \cap U \not= \varnothing \}</math> конечно.
- Покрытие <math>C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math> множества <math>Y</math> называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством <math>U\in C</math> открыто в <math>U</math>, открыто и в <math>Y</math>.
- <math>Y</math> называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
- <math>Y</math> называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Свойства
- Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.