Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть <math>K_0</math> и <math>K_1</math> — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского <math>K_\lambda=(1-\lambda)K_0+\lambda K_1</math>, <math>\lambda\in[0,1]</math>, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств <math>K_0</math> и <math>K_1</math> в отношении <math>\lambda</math> к <math>(1-\lambda)</math>. Тогда функция

<math>f(\lambda)=\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}K_\lambda}</math>

есть вогнутая функция от <math>\lambda</math>.

Более того, функция <math>f(\lambda)</math> линейна в том и только в том случае, когда <math>K_0</math> и <math>K_1</math> гомотетичны.

Замечания

• Неравенство легко выводится из своего частного случая

  <math>\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}(A+B)} \ge \sqrt[n]{\mathop{\rm vol}A}+\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}B}</math>

для любых компактных выпуклых тел <math>A</math> и <math>B</math> — в n-мерном пространстве.

Следствия

• Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу <math>W</math> и к его центральносимметричной копии <math>W'</math>.
• Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским<ref>Шаблон:Книга</ref>, обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником<ref>Шаблон:Статья</ref>.

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.<ref>H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8</ref> В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

• Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

• В. Бляшке, Круг и шар. Шаблон:М.: Наука, 1967.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга