Лямбда-исчисление

Ля́мбда-исчисле́ние (λ-исчисление) — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем для формализации и анализа понятия вычислимости.

Чистое λ-исчисление

Чистое λ-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или λ-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.

Аппликация и абстракция

В основу λ-исчисления положены две фундаментальные операции:

• Шаблон:ЯкорьАппликация (Шаблон:Lang-lat — прикладывание, присоединение) означает применение функции к заданному значению аргумента (то есть вызов функции). Её обычно обозначают <math>f\ a</math>, где <math>f</math> — функция, а <math>a</math> — аргумент. Это соответствует общепринятой в математике записи <math>f(a)</math>, которая тоже иногда используется, однако для λ-исчисления важно то, что <math>f</math> трактуется как алгоритм, вычисляющий результат по заданному входному значению. В этом смысле аппликация <math>f</math> <math>a</math> может рассматриваться двояко: как результат применения <math>f</math> к <math>a</math>, или же как процесс вычисления этого результата. Последняя интерпретация аппликации связана с понятием β-редукции.
• Шаблон:ЯкорьАбстракция или λ-абстракция (Шаблон:Lang-lat — отвлечение, отделение), в свою очередь, строит функции по заданным выражениям. Именно, если <math>t\equiv t[x]</math> — выражение, Шаблон:Не переведено 5 содержащее <math>x</math>, тогда запись <math>(\lambda x.t[x])</math> означает: λ функция от аргумента <math>x</math>, которая имеет вид <math>t[x]</math>, и обозначает функцию <math>x\mapsto t[x]</math>. Здесь скобки не обязательны и использованы для ясности, так как точка является частью нотации и отделяет имя связанной переменной от тела функции. Таким образом, с помощью абстракции можно конструировать новые функции. Требование, чтобы <math>x</math> свободно входило в <math>t</math>, не обязательно — в этом случае <math>\ \lambda x.t</math> обозначает функцию <math>x\mapsto t</math>, то есть такую, которая игнорирует свой аргумент.

α-эквивалентность

Основная форма эквивалентности, определяемая в лямбда-термах, это альфа-эквивалентность. Например, <math>\lambda x.x</math> и <math>\lambda y.y</math> — это альфа-эквивалентные лямбда-термы, которые оба представляют одну и ту же функцию — а именно, функцию тождества <math>x\mapsto x</math>. Термы <math>x</math> и <math>y</math> не являются альфа-эквивалентными, так как являются свободными переменными.

Вообще говоря, <math>\alpha</math>-преобразование — это переименование связанных переменных, не меняющее «смысла» терма. Структурно, два λ-терма <math>\alpha</math>-эквивалентны если это один и тот же терм, либо если какие-либо их составляющие термы соответственно <math>\alpha</math>-эквивалентны.

Для абстракций, терм <math>\lambda y.t[y]</math> <math>\alpha</math>-эквивалентен <math>\lambda x.t[x]</math>, если <math>t[y]</math> это <math>t[x]</math> в котором все свободные появления <math>x</math> заменены на <math>y</math>, при условии, что 1.) <math>y</math> не входит свободно в <math>t[x]</math>, и 2.) <math>x</math> не входит свободно ни в одну абстракцию <math>\lambda y</math> внутри <math>t[x]</math> (если такие есть).

Требование, чтобы <math>y</math> не была свободной переменной в <math>t[x]</math> — существенно, так как иначе она окажется «захваченной» абстракцией <math>\lambda y</math> после <math>\alpha</math>-преобразования, и из свободной переменной в <math>\lambda x.t[x]</math> превратится в связанную переменную в <math>\lambda y.t[y]</math>.

Второе требование необходимо, чтобы предотвратить случаи, подобные тому, когда, например, <math>\lambda y.x</math> является частью <math>t[x]</math>. Тогда необходимо произвести <math>\alpha</math>-преобразование такой абстракции, например, в данном случае, в <math>\lambda z.x</math>.

β-редукция

Применение некой функции к некоему аргументу выражается в <math>\lambda</math>-исчислении как аппликация <math>\lambda</math>-терма, выражающего эту функцию, и <math>\lambda</math>-терма аргумента. Например, применение функции <math>f(x) = 2x+1</math> к числу 3 выражается аппликацией

<math>(\lambda x. 2\cdot x + 1)\ 3,</math>

в которой на первом месте находится соответствующая абстракция. Поскольку эта функция ставит в соответствие каждому <math>x</math> значение <math>2x+1</math>, для вычисления результата необходимо заменить каждое свободное появление переменной <math>x</math> в терме <math>2\cdot x + 1</math> на терм 3.

В результате получается <math>2\cdot 3+1=7</math>. Это соображение в общем виде записывается как

<math>(\lambda x.t)\ a = t[x:=a]</math>

и носит название β-редукция. Выражение вида <math>(\lambda x.t)\ a</math>, то есть применение абстракции к некоему терму, называется редексом (redex). Несмотря на то, что β-редукция по сути является единственной «существенной» аксиомой λ-исчисления, она приводит к весьма содержательной и сложной теории. Вместе с ней λ-исчисление обладает свойством полноты по Тьюрингу и, следовательно, представляет собой простейший язык программирования.

η-преобразование

<math>\eta</math>-преобразование выражает ту идею, что две функции являются идентичными тогда и только тогда, когда, будучи применёнными к любому аргументу, дают одинаковые результаты.

<math>\eta</math>-преобразование переводит друг в друга формулы <math>\lambda x.f\ x</math> и <math>f</math>, но только если <math>x</math> не появляется свободно в <math>f</math>. Иначе, свободная переменная <math>x</math> в <math>f</math> после преобразования стала бы связанной внешней абстракцией <math>\lambda x</math>, и наоборот; и тогда применение этих двух выражений сводилось бы <math>\beta</math>-редукцией к разным результатам.

Перевод <math>\lambda x.f\ x</math> в <math>f</math> называют <math>\eta</math>-редукцией, а перевод <math>f</math> в <math>\lambda x.f\ x</math> — <math>\eta</math>-экспансией.

Каррирование (карринг)

Функция двух переменных <math>x</math> и <math>y</math> <math>f(x,y) = x + y</math> может быть рассмотрена как функция одной переменной <math>x</math>, возвращающая функцию одной переменной <math>y</math>, то есть как выражение <math>\ \lambda x.\lambda y.x+y</math>. Такой приём работает точно так же для функций любой арности. Это показывает, что функции многих переменных могут быть выражены в λ-исчислении и являются «синтаксическим сахаром». Описанный процесс превращения функций многих переменных в функцию одной переменной называется карринг (также: каррирование), в честь американского математика Хаскелла Карри, хотя первым его предложил Моисей Шейнфинкель (1924).

Соответственно, аппликация n-арных функций — это на самом деле аппликация вложенных унарных функций, одна за другой. Например, для бинарных функций:

  (λxy.    ...x...y... )  a  b   =
  (λx.λy.  ...x...y... )  a  b   =
  (λx.(λy. ...x...y... )) a  b   =
 ((λx.(λy. ...x...y... )) a) b   =
      (λy. ...a...y... )     b   =
           ...a...b...

Семантика бестипового λ-исчисления

Тот факт, что термы λ-исчисления действуют как функции, применяемые к термам λ-исчисления (то есть, возможно, к самим себе), приводит к сложностям построения адекватной семантики λ-исчисления. Чтобы придать λ-исчислению какой-либо смысл, необходимо получить множество <math>D</math>, в которое вкладывалось бы его пространство функций <math>D \to D</math>. В общем случае такого <math>D</math> не существует по соображениям ограничений на мощности этих двух множеств, <math>D</math> и функций из <math>D</math> в <math>D</math>: второе имеет бо́льшую мощность, чем первое.

Эту трудность в начале 1970-х годов преодолел Дана Скотт, построив понятие области <math>D</math> (изначально на полных решётках<ref>Scott D.S. The lattice of flow diagrams.-- Lecture Notes in Mathematics, 188, Symposium on Semantics of Algorithmic Languages.-- Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1971, pp. 311—372.</ref>, в дальнейшем обобщив до полного частично упорядоченного множества со специальной топологией) и урезав <math>D \to D</math> до непрерывных в этой топологии функций<ref>Scott D.S. Lattice-theoretic models for various type-free calculi. — In: Proc. 4th Int. Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science, Bucharest, 1972.</ref>. На основе этих построений была создана Шаблон:Iw языков программирования, в частности, благодаря тому, что с помощью них можно придать точный смысл таким двум важным конструкциям языков программирования, как рекурсия и типы данных.

Связь с рекурсивными функциями

Рекурсия — это определение функции через саму себя; на первый взгляд, лямбда-исчисление не позволяет этого, но это впечатление обманчиво. Например, рассмотрим рекурсивную функцию <math>fact</math>, вычисляющую факториал:

<math>fact(n) \triangleq \{ 1, \text{ if } n = 0; \text{ else } n \times fact(n - 1) \} </math>

Эта функция не может быть выражена λ-термом λn.{ 1, if n = 0; else n × (fact (n-1)) }, так как в нём переменная fact является свободной, т.е. нигде не определённой. Эквивалентное выражение (G fact), где

 G := λr.λn.{ 1, if n = 0; else n × (r (n-1)) }

оставляет открытым вопрос, что такое fact. Чтобы найти ответ на этот вопрос, необходимо прежде всего понять что G выражает собой один шаг вычисления факториала в парадигме "открытой рекурсии", вызывая полученную функцию r для выполнения "остатка вычислений". Рекурсивная функция — это, по определению, такая, которая использует саму себя для проведения остатка вычислений. То есть, должно выполняться:

 Fact = G Fact = G (G Fact) = G (G (G (...)))

Таким образом, Fact является "неподвижной точкой" функционала G: вся работа выполняется повторением "шага вычислений" G неограниченное количество раз, как это продиктовано значением аргумента n:

 Fact n = G Fact n = G (G Fact) n = G (G (G (...))) n

Функция <math>fact</math> ссылается на саму себя посредством ссылки на своё имя, но в лямбда-исчислении у λ-термов имен нет. Разрешение ссылки по имени достигается в программировании посредством лексического связывания через глобальный контекст, но в лямбда исчислении он является неизменяемым. В отсутствие изменяемого глобального контекста, локальный контекст создаётся использованием дополнительных аргументов:

<math>\begin{align}

fact\text{′}(n)\ &\triangleq f(f,n) \\
      &where \\
      & f(h,n) \triangleq \{ 1, \text{ if } n = 0; \text{ else } n \times h(h, n - 1) \} \\

\end{align}</math>

Здесь функция <math>f(h,n)</math> использует аргумент <math>h</math> и как функцию для вызова, в качестве "следующего шага вычислений", и передаёт его как дальнейший аргумент для последующего использования самой же вызванной фунцкцией <math>h</math>. Вызов функции-аргумента для выполнения остатка вычислений называется "открытой рекурсией", потому что <math>h</math> гипотетически может быть чем угодно. Вызов функции <math>f</math> с самой собой в качестве аргумента на самом верхнем уровне, <math>f(f,n)</math>, "замыкает кольцо" и позволяет функции ссылаться на саму себя внутри своего тела, таким образом создавая функцию <math>fact\text{′}</math> полностью эквивалентную оригинальной рекусивной функции <math>fact</math>.

Действительно, рекурсивная функция вызывает саму себя, и само-применяемая функция <math>f</math> вызывает саму себя путём само-применения, передавая себя в качестве следующего шага вычислений, так же повторяя это и дальше снова и снова, сколько необходимо. Так как функция <math>f</math> описывает один шаг вычисления факториала, повторное использование её снова и снова, по мере необходимости, описывает весь процесс вычисления факториала целиком.

В таком виде это синтаксически не-рекурсивное определение <math>fact\text{′}</math> напрямую выражается как λ-терм:

 F := λh. λn. { 1, if n = 0; else n × ((h h) (n-1)) }

    = λh. (λr.λn.{ 1, if n = 0; else n × (r (n-1)) }) (h h)

    = λh. G (h h)

 Fact := F F

Итак F h = G (h h), и следовательно F F = G (F F). λ-терм (F F) является неподвижной точкой λ-терма G, т.е. представлением рекурсивной функции <math>fact</math>, и G ссылается на него через параметр r, выполняя тождество:

 Fact := F F = G (F F) = G Fact = G (G (G (...)))

       = U F =      U (λh. G (h h))

             = (λg. U (λh. g (h h))) G =: Y G

 U := λh. h h

где <math>U</math> — это комбинатор самоприменения (самоаппликации), <math>U h = h\ h</math>. Так несколькими элементарными само-очевидными преобразованиями сам собой получается т.н. "комбинатор неподвижной точки" (см. ниже), <math>Y</math>,

 Y := λg. U (λh. g (h h))

 Fact := Y G = G (Y G)

Комбинатор <math>Y</math> создает рекурсивную функцию из аргумента, являющегося закрытым (то есть в котором нет свободных переменных) λ-термом исходного выражения функции (то есть без удвоения параметра). То есть <math>\operatorname{Y}</math> — это комбинатор неподвижной точки: он вычисляет неподвижную точку своего аргумента. Для закрытого λ-терма с соответствующей арностью, его неподвижная точка выражает рекурсивную функцию, так как <math>Y\ g\ n = g\ (Y\ g)\ n</math>, то есть аргумент который здесь создаётся для вызова внутри <math>g</math> — это та же самая функция <math>Y\ g\ </math>:

 Y g = U λh. g (h h) = g (U λh. g (h h)) = g (Y g)

Действительно,

Fact = Y (λr. λn. {1, if n = 0; else n × (r (n-1))})
     = Y G
     = G (Y G)
     = (λr. λn. {1, if n = 0; else n × (r (n-1))}) (Y G)
     = (    λn. {1, if n = 0; else n × ((Y G) (n-1))})
     = (    λn. {1, if n = 0; else n × (Fact  (n-1))})
     = G Fact

Итак, <math>G</math> — это закрытый функционал, то есть λ-терм, вызывающий свой аргумент в качестве функции; его неподвижная (зафиксированная, неизменяемая) точка — это функция (здесь, <math>Y G =: Fact</math>), которая передаётся ему в качестве аргумента; а вызов той же самой функции и есть рекурсивный вызов.

Используя <math>Y</math>, выписывать F явным образом становится излишним. Все что нужно это "функционал одного шага" G, и его повторение неограниченное число раз достигается автоматически:

 Fact n = Y G n = G (Y G) n = G (G (G (...))) n

        = { 1, if n = 0; else n × (Y G (n-1)) } = ...

Чтобы определить факториал как рекурсивную функцию, мы можем просто написать <math>\operatorname{Y} G\ n</math>, где <math>n</math> — число, для которого вычисляется факториал. Пусть <math>n = 4</math>, получаем (подразумевая каррирование, (a b c) = ((a b) c)):

Y G 4
Y (λrn.{1, if n = 0; else n×(r (n-1))}) 4
(λrn.{1, if n = 0; else n×(r (n-1))}) (Y G) 4
(λn.{1, if n = 0; else n×(Y G (n-1))}) 4
{1, if 4 = 0; else 4×(Y G (4-1))}
4×(Y G 3)
4×(G (Y G) 3)
4×((λrn.{1, if n = 0; else n×(r (n-1))}) (Y G) 3)
4×{1, if 3 = 0; else 3×(Y G (3-1))}
4×(3×(G (Y G) 2))
4×(3×{1, if 2 = 0; else 2×(Y G (2-1))})
4×(3×(2×(G (Y G) 1)))
4×(3×(2×{1, if 1 = 0; else 1×(Y G (1-1))}))
4×(3×(2×(1×(G (Y G) 0))))
4×(3×(2×(1×{1, if 0 = 0; else 0×(Y G (0-1))})))
4×(3×(2×(1× 1 )))
24

Итак, каждое определение рекурсивной функции может быть представлено как неподвижная точка соответствующего закрытого функционала, описывающего «один вычислительный шаг» рекурсивной функции. Следовательно, используя <math>\operatorname{Y}</math>, любое рекурсивное определение может быть выражено как лямбда-выражение (λ-терм). В частности, мы можем определить вычитание, умножение, сравнение натуральных чисел и другие арифметические операции, используя рекурсию по необходимости, и выразить эти операции как λ-термы.

Комбинатором называют замкнутое лямбда-выражение, не содержащее свободных переменных и ссылающееся исключительно на свои аргументы. При этом оно может использовать комбинаторы из ограниченного набора базовых, считающихся примитивными. Существуют различные базисы комбинаторной логики, среди которых наиболее известны <math>S,K,I</math> и <math>B,C,W,K</math>. Эти базисы являются взаимно выразимыми, то есть любой комбинатор из одного базиса можно представить через комбинаторы другого. В частности, комбинаторы <math>U</math> и <math>Y</math>, как и любые другие, могут быть выражены в обеих системах.

Существует несколько (и вообще-то, бесконечно много) определений комбинаторов неподвижной точки. Вышеуказанное — одно из самых простых:

 Y := λg. (λh. h h) (λh. g (h h))

Используя стандартные комбинаторы <math>B</math> и <math>C</math>,

Y g = U (λh. g (U h)) = U (λh. B g U h)
    = U (B g U) = BU (CBU) g
    = S(KU)(SB(KU)) g
    = SS(S(S(KS)K))(K(SII)) g

В самом деле:

U (B g U) = B g U (B g U)
          = g (U (B g U))
          = g (Y g)

Примерaми других комбинаторов неподвижной точки являются, например, комбинатор Тьюринга <math>\Theta</math> и комбинатор <math>Y\text{′}</math>:

 Θ  := (λhg. h h g) (λhg. g (h h g))

     = U(B(SI)U) = SII(S(K(SI))(SII))

 Y′ := (λhg. h g h) (λgh. g (h g h))

     = WC(SB(C(WC))) = SSK(S(K(SS(S(SSK))))K)

В языках программирования

В языках программирования под «λ-исчислением» зачастуюШаблон:Нет АИ понимается механизм «анонимных функций» — callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ ко всем переменным, видимым в месте их вызова в текущей функции (замыкание).

См. также

• Кодирование Чёрча
• Типизированное λ-исчисление
• Комбинаторная логика
• Функциональное программирование
• Теорема Чёрча — Россера

Литература

• Шаблон:Книга