Йорданова алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Йорданова алгебра — это неассоциативная алгебра над полем, умножение которой удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. <math>xy = yx</math> (закон коммутативности)
  2. <math>(xy)(xx) = x(y(xx))</math> (тождество Йордана)

Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x∘y, в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .

Аксиомы подразумевают<ref name="Jacobson68p35">Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>, что йорданова алгебра является ассоциативной по степеням, а именно <math>x^n = x \cdots x</math> не зависит от того, как мы расставляем скобки в выражении. Они также подразумевают<ref name="Jacobson68p35" />, что <math>x^m (x^n y) = x^n(x^m y)</math> для всех положительных целых чисел m и n. Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную, ассоциативную по степеням алгебру, такую, что для любого элемента <math>x</math>, операции умножения на степени <math>x^n</math> коммутируют.

Йордановы алгебры были введены Паскуалем Йорданом (1933) в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых величин в квантовой электродинамике. Вскоре было показано, что эти алгебры бесполезны в этом контексте, однако с тех пор они нашли множество применений в математике<ref>Шаблон:Cite journal</ref>. Первоначально эти алгебры назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Альбертом (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановы алгебры

Заметим сначала, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Для любой ассоциативной алгебры A (не характеристики 2) можно построить йорданову алгебру A+, используя то же самое базовое сложение и новое умножение — йорданово произведение, определяемое как:

<math>x\circ y = \frac{xy+yx}{2}.</math>

Эти йордановы алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами, а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами. Конструкция аналогична алгебре Ли, связанной с A, произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором <math>[x,y] = xy - yx</math> .

Теорема Ширшова-Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной<ref name="mcc100">Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>. Похожим образом теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трёх переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль и в каждой йордановой алгебре<ref name="mcc99">Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>.

Эрмитовы йордановы алгебры

Если (A, σ) — ассоциативная алгебра с инволюцией σ, то если σ (x) = x и σ (y) = y, то следует, что <math display="inline">\sigma(xy + yx) = xy + yx.</math> Таким образом, множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру алгебры A +, которую иногда обозначают как H(A, σ).

Примеры

1. Множество самосопряженных действительных, комплексных или кватернионных матриц с умножением

<math>(xy + yx)/2</math>

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3×3 над октонионами снова с умножением

<math>(xy + yx)/2,</math>

— 27-мерная исключительная йорданова алгебра (исключительная, поскольку октонионы неассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта. Её группа автоморфизмов — исключительная группа Ли F4. Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма<ref name="Springer00" />, её часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над вещественными числами существует три изоморфных класса простых исключительных йордановых алгебр<ref name="Springer00">Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>.

Дифференцирования и структурная алгебра

Дифференцирование йордановой алгебры A — это эндоморфизм D алгебры A, такой что D(xy) = D (x) y + xD(y). Дифференцирования образуют алгебру Ли der (A). Из тождества Йордана следует, что если x и y — элементы алгебры A, то эндоморфизм, переводящий z в x (yz) − y (xz), является дифференцированием. Таким образом, прямую сумму алгебр A и der(A) можно преобразовать в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй алгебры A, str (A).

Простым примером служат эрмитовы йордановы алгебры H(A, σ). В этом случае любой элемент x алгебры A с условием σ (x)=− x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра алгебры H(A, σ) — это A.

Алгебры вывода и структуры также являются частью конструкции магического квадрата Фрейденталя, созданной Титсом .

Формально действительные йордановы алгебры

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально действительной, если она удовлетворяет свойству, согласно которому сумма n квадратов может обратиться в нуль только при обращении в нуль каждого из них по отдельности. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной (xy = yx) и степенно-ассоциативной (закон ассоциативности выполняется для произведений, содержащих только x, так что степени любого элемента x определяются однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй.

Не каждая йорданова алгебра формально вещественна, но Шаблон:Harvtxt классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами. Любая формально вещественная йорданова алгебра может быть представлена в виде прямой суммы так называемых простых йордановых алгебр, которые сами по себе нетривиальным образом не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства, включая один исключительный случай:

  • Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера n × n, как указано выше.
  • Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n × n, как указано выше.
  • Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n × n . как указано выше.
  • Йорданова алгебра , свободно порожденная Rn с соотношениями
    <math>x^2 = \langle x, x\rangle </math>
где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения в Rn. Иногда это называется спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .
  • Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 3×3, как указано выше (исключительная йорданова алгебра, называемая алгеброй Альберта).

Из этих возможностей до сих пор представляется, что природа использует в качестве алгебр наблюдаемых величин только комплексные матрицы размера n×n. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности, и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией.

Разложение Пирса

Если e — идемпотент в йордановой алгебре A (то есть e 2 = e) и R — операция умножения на e, тогда

  • R(2R − 1)(R − 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A = А 0 (е) ⊕ А1/2(е) ⊕ A1(e) из трёх собственных подпространств. Это разложение было впервые рассмотрено Шаблон:Harvtxt для вполне вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было изучено в полном объёме Шаблон:Harvtxt и названо разложением Пирса для A относительно идемпотента е<ref>Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>.

Специальные виды и обобщения

Бесконечномерные йордановы алгебры

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырожденные) йордановы алгебры. Они бывают эрмитового или клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта, имеющие размерность 27.

Йордановы операторные алгебры

Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует. Теория операторных алгебр была расширена и теперь охватывает йордановы операторные алгебры.

Аналогами C*-алгебр являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами. Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

<math>\displaystyle{\|a\circ b\|\le \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\, \|a^2\|=\|a\|^2,\,\,\, \|a^2\|\le \|a^2 +b^2\|.}</math>

Эти аксиомы гарантируют формальную вещественность йордановой алгебры, так что если сумма квадратов членов равна нулю, то и сами члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых C*-алгебр или JB*-алгебр. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кёхера ограниченных симметричных областей на бесконечномерный случай. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная алгебра Альберта является общим препятствием.

Йордановым аналогом алгебр фон Неймана являются алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, центр которых приведен к R — полностью понятны в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта, все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его подалгеброй неподвижных точек относительно периода 2*-антиавтоморфизма фактора фон Неймана.

Кольца Йордана

Йорданово кольцо — это обобщение йордановых алгебр, требующее лишь, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы йорданово кольцо можно определить как коммутативное неассоциативное кольцо, сохраняющее тождество Йордана.

Йордановы супералгебры

Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским. Это <math>\mathbb{Z}/2</math>-градуированные алгебры <math>J_0 \oplus J_1</math> где <math>J_0</math> является йордановой алгеброй и <math>J_1</math> имеет продукт типа «Ли» со значениями в <math>J_0</math><ref>Шаблон:Harvard citation no brackets</ref>.

Любой <math>\mathbb{Z}/2</math> -градуированная ассоциативная алгебра <math>A_0 \oplus A_1</math> становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки

<math>\{x_i,y_j\} = x_i y_j + (-1)^{ij} y_j x_i \ . </math>

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Шаблон:Harvtxt. Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности: <math>K_3</math> и <math>K_{10}</math>.

J-структуры

Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует. Понятие J-структуры было введено Шаблон:Harvtxt для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, где инверсия Йордана является базовой операцией, а тождество Хуа — базовым отношением. В характеристике, отличной от 2, теория J-структур по сути совпадает с теорией йордановых алгебр.

Квадратичные йордановы алгебры

Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует. Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Маккриммоном. Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, отличной от 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Дальнейшее чтение

Ссылки

Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:Нерабочие сноски

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Йорданова_алгебра&oldid=53680