Изолированная точка множества
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.
Определение
Пусть дано топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math>, и подмножество <math>A \subset X</math>. Точка <math>x \in A</math> называется изолированной точкой множества <math>A</math>, если существует окрестность <math>U \in \mathcal{T}</math> такая, что <math>U \cap A = \{x\}.</math>
Связанные определения
- Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным
Свойства
- Произвольная функция <math>f:A\subset X \to Y</math>, где <math>Y</math> — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке <math>x</math>.
Примеры
Пусть <math>A = \mathbb{R}</math> — множество вещественных чисел с стандартной топологией.
- Если <math>A = \{0\} \cup [1,2]</math>, то точка <math>x = 0</math> является изолированной, а все остальные нет.
- Если <math>A = \{0\} \cup \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \equiv \left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right\},</math> то <math>x = 0</math> не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
- Множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> дискретно.
- Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
- Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).